Cтраница 1
Комплексный показатель степени допустим только в том случае, когда мнимая часть равна нулю; проведение вычислений при наличии показателя степени с ненулевой мнимой частью воспринимается как ошибка. [1]
Комплексный показатель степени допустим только в том случае, когда мнимая часть равна нулю; вычисление при наличии показателя степени с ненулевой мнимой частью воспринимается как ошибка. [2]
Наличие комплексных показателей степени приводит к появлению в общем разложении ( 6) - ( 10) членов, характеризуемых осцилляциями по сферическому радиусу R. В общем случае критерий гидродинамической неустойчивости теряет рэлеевскую формулировку, но качественное изменение решения при Re Re. R, имеет тесную связь с устойчивостью течения, что подтверждается экспериментальными данными. [3]
Наличие комплексных показателей степени при сферическом радиусе R в разложении ( 2) важно для понимания ряда физических эффектов, о чем пойдет речь в конце этого параграфа. [4]
В правых частях этих выражений комплексный показатель степени разложен на вещественную и мнимую составляющие. [5]
Эти формулы определяют степень числа е с любым комплексным показателем степени. [6]
Итак, мы показали, что признаком дискретной масштабной инвариантности является присутствие степенной зависимости с комплексным показателем степени, который проявляет себя в наборе данных логопериодическими осцилляциями, корректируя простое степенное масштабирование. В дополнение к существованию единственного предпочтительного коэффициента масштабирования и связанной с ним логопериодичности, обсуждавшейся до сих пор, могут существовать несколько предпочтительных коэффициентов, соответствующих нескольким наложенным друг на друга ( принцип суперпозиции) логопериодичностям. [7]
Итак, мы показали, что признаком дискретной масштабной инвариантности является присутствие степенной зависимости с комплексным показателем степени, который проявляет себя в наборе данных логопериодическими осцилляциями, корректируя простое степенное масштабирование. В дополнение к существованию единственного предпочтительного коэффициента масштабирования и связанной с ним логопериодичности, обсуждавшейся до сих пор, могут существовать несколько предпочтительных коэффициентов, соответствующих нескольким наложенным друг на друга ( принцип суперпозиции) логопериодичностям. [8]
В функциональной программе GODF используется ряд подпрограмм, обеспечиваемых языком ФОРТРАН IV для работы с комплексными числами Z X ] - - iX - 2 CABS ( Z) Z - определение модуля комплексного числа; C. XP ( Z) expZ - определение значения экспоненты комплексного показателя степени; DATAN ( X) arctg ( X) - арктангенс X, выраженный в радианах. [9]
Не касаясь общих методов решения дифференциальных уравнений, отметим, что в случае уравнения (54.6) искомая функция x ( t) должна обладать следующим свойством: как первая, так и вторая производная по времени от х ( t) должны отличаться от самой функции х ( t) лишь численными множителями. Такой функцией в самом общем случае является показательная функция с комплексным показателем степени или, что то же, произведение показательной функции на синус или косинус. [10]
Чтобы понять логопериодическую структуру, нам нужно вспомнить основное свойство логарифмической функции, используемой во многих рисунках этой книги, а именно, что логарифм преобразует умножения в перенос, а степень в сложение. Следовательно, осцилляционный вид умножения, индуцированный взятием степени числа с комплексным показателем степени, должен наблюдаться как регулярная осцилляция в логарифме числа, следовательно, как логопериодичность. [11]
Возвращаясь к комплексным фрактальным размерностям, нам необходимо дополнительно вспомнить интуитивное значение показателя степени. Условные обозначения L3LxLxL и L2LxL, использованные нами прежде, предполагают, что показатели степени 3 и 2, использованные здесь, указывают, что L умножается на саму себя соответственно 2 и 3 раза. Красота математики часто заключается в обобщении таких очевидных представлений с целью расширить их использование и подчеркнуть их значение. Здесь обобщение от целых показателей степени к дробным показателям степени, например, L1 5, означает, что L умножается на само себя 1 5 раза. Данное любопытное утверждение можно на самом деле сделать точнее, и оно имеет большой смысл. Позволим нашему воображению идти дальше: мы также можем возвести L в степень с комплексным показателем степени. Поскольку комплексные числа являются парами чисел, мы вносим смысл в данное любопытное утверждение путем разложения действия комплексного показателя степени на два преобразования, как в случае с умножением. Сконцентрировавшись на вращательном компоненте умножения комплексных чисел, мы можем догадаться ( безошибочно), что комплексный показатель степени L также будет соответствовать вращению. И, наконец, последний этап исследования: поскольку мы рассматриваем действительные числа, такие как цены на фондовом рынке, это соответствует видению только проекции на действительной прямой комплексного множества операций. Как мы сказали и показали на 78, вращение проектируется на прямую как осцилляция. Таким образом, построение Ld, где d является комплексным числом, соответствует проведению осцилляционного умножения, которое оказывается логопериодическими осцилляциями. [12]
Возвращаясь к комплексным фрактальным размерностям, нам необходимо дополнительно вспомнить интуитивное значение показателя степени. Условные обозначения L3LxLxL и L2LxL, использованные нами прежде, предполагают, что показатели степени 3 и 2, использованные здесь, указывают, что L умножается на саму себя соответственно 2 и 3 раза. Красота математики часто заключается в обобщении таких очевидных представлений с целью расширить их использование и подчеркнуть их значение. Здесь обобщение от целых показателей степени к дробным показателям степени, например, L1 5, означает, что L умножается на само себя 1 5 раза. Данное любопытное утверждение можно на самом деле сделать точнее, и оно имеет большой смысл. Позволим нашему воображению идти дальше: мы также можем возвести L в степень с комплексным показателем степени. Поскольку комплексные числа являются парами чисел, мы вносим смысл в данное любопытное утверждение путем разложения действия комплексного показателя степени на два преобразования, как в случае с умножением. Сконцентрировавшись на вращательном компоненте умножения комплексных чисел, мы можем догадаться ( безошибочно), что комплексный показатель степени L также будет соответствовать вращению. И, наконец, последний этап исследования: поскольку мы рассматриваем действительные числа, такие как цены на фондовом рынке, это соответствует видению только проекции на действительной прямой комплексного множества операций. Как мы сказали и показали на 78, вращение проектируется на прямую как осцилляция. Таким образом, построение Ld, где d является комплексным числом, соответствует проведению осцилляционного умножения, которое оказывается логопериодическими осцилляциями. [13]
Возвращаясь к комплексным фрактальным размерностям, нам необходимо дополнительно вспомнить интуитивное значение показателя степени. Условные обозначения L3LxLxL и L2LxL, использованные нами прежде, предполагают, что показатели степени 3 и 2, использованные здесь, указывают, что L умножается на саму себя соответственно 2 и 3 раза. Красота математики часто заключается в обобщении таких очевидных представлений с целью расширить их использование и подчеркнуть их значение. Здесь обобщение от целых показателей степени к дробным показателям степени, например, L1 5, означает, что L умножается на само себя 1 5 раза. Данное любопытное утверждение можно на самом деле сделать точнее, и оно имеет большой смысл. Позволим нашему воображению идти дальше: мы также можем возвести L в степень с комплексным показателем степени. Поскольку комплексные числа являются парами чисел, мы вносим смысл в данное любопытное утверждение путем разложения действия комплексного показателя степени на два преобразования, как в случае с умножением. Сконцентрировавшись на вращательном компоненте умножения комплексных чисел, мы можем догадаться ( безошибочно), что комплексный показатель степени L также будет соответствовать вращению. И, наконец, последний этап исследования: поскольку мы рассматриваем действительные числа, такие как цены на фондовом рынке, это соответствует видению только проекции на действительной прямой комплексного множества операций. Как мы сказали и показали на 78, вращение проектируется на прямую как осцилляция. Таким образом, построение Ld, где d является комплексным числом, соответствует проведению осцилляционного умножения, которое оказывается логопериодическими осцилляциями. [14]