Cтраница 2
Осталось напомнить, что если гладкое векторное поле w на многообразии М имеет хотя бы одну замкнутую траекторию 6e: i особых точек поля w, то это поле не может быть потенциальным. [16]
Отображение соответст-вия для гиперболического сектора гладкого векторного поля на вещественной плоско-стн с особой точкой, удовлетворяющей условию Лоясевича, полурегулярно, когда особая точка невырождена, и имеет вид ехр ( - l / h) или h ( - 1 / / In), когда особая точка вырождена; здесь h - полурегулярное отображение. [17]
Пусть положительная полутраектория С - гладкого векторного поля с изолированными особыми точками на вещественной плоскости расположена в ограниченной области. [18]
Покажем, что соответствие между гладкими векторными полями на М и дифференцированиями алгебры С ( М) обратимо. [19]
В дальнейшем, говоря о гладком векторном поле, гладком дифференцировании, линейной связности, мы часто будем опускать слова гладкое, линейная, так как с другими полями, дифференцированиями и связностями не будем иметь дела. Мы увидим, что на каждом гладком многообразии существует бесконечно много различных связностей. [20]
На трехмерной сфере существует С1 - гладкое векторное поле без особых точек и циклов. [21]
Показать, что на бутылке Клейна существует гладкое векторное поле без особенностей. Доказать, что для любых двух гладких векторных полей на бутылке Клейна существует точка, в которой они линейно зависимы. [22]
Верно и обратное утверждение: если для фиксированного гладкого векторного поля У и любого Z G X выполняется равенство ( 5), то У - поле Якоби. Действительно, сравнивая ( 3) с ( 5), видим, что интеграл в правой части ( 3) равен нулю для любого Z e X. Полагая в нем Z У R ( У, у) у, убеждаемся, что У - якобиево поле. [23]
Говорят, что на гладком многообразии Мп задано гладкое векторное поле v, если в каждой точке Р задан вектор v ( P) Е ТрМп, гладко зависящий от точки. [24]
Главный член преобразования монодромии для монодромной особой точки гладкого векторного поля, удовлетворяющего условию Лоясевича, всегда линеен. [25]
Заключение предыдущей теоремы справен ливо для особой точки гладкого векторного поля, удовлетворяющего в этой точке условию Лоясевича. В частности, заключение справедливо для изолированной особой точки аналитического векторного поля. [26]
Неизвестно, какова ситуация в трехмерном случае с более гладкими векторными полями. Естественно также специально поставить вопрос о векторных полях, определяющих потоки с гладкой инвариантной мерой. [27]
Доказать, что на всяком связном компактном замкнутом многообразии существует гладкое векторное поле ровно с одной особой точкой. [28]
Если ответ на этот вопрос положителен, то существует ли гладкое векторное поле V на Мп со следующими свойствами: 1) поле V не является обратимым относительно никакой инволюции фазового пространства, 2) для любого TQ 0 найдется такое т Е ( 0 то), что отображение фазового потока ноля V за время т обратимо. [29]
В данной книге рассматриваются только гладкие потоки, которые порождаются гладкими векторными полями, как описано в книге. [30]