Cтраница 4
Причина, по которой оба приведенных поля не имеют фазовых потоков, заключается в некомпактности фазового пространства. В дальнейшем мы увидим, что гладкое векторное поле на компактном многообразии всегда определяет фазовый поток. [46]
Пусть кривизна k регулярной пространственной кривой r ( s) обращается в нуль в конечном числе точек. Предположим, что на кривой есть гладкое векторное поле n ( s) такое, что в тех точках, где k 0, оно совпадает либо с n ( s), либо с - n ( s), где n ( s) - главная нормаль кривой. Доказать, что тогда формулы Френе будут верны и в точках, где k 0, но при этом кривизна пространственной кривой может оказаться знакопеременной. [47]
Гладкому неплоскому в нуле векторному полю v, заданному в окрестности точки 0 плоскости R2, соответствует гладкое поле направлений а, определенное в некоторой окрестности вклеенной прямой L на поверхности М всюду, за исключением конечного числа точек, расположенных на L и называемых особыми. В окрестности каждой особой точки поле а порождается некоторым гладким векторным полем v, не плоским в особой точке. [48]