Cтраница 3
Списочные структуры являются довольно общим типом структур, которые сочетают в себе общие свойства деревьев, лесов, бинарных деревьев, с одной стороны, и линейных списков - с другой. Кнут [84] использует термин Список с прописной буквы для обозначения специфической структуры ( которая определяется ниже), в отличие от термина список, употребляемого в общем смысле. В данном случае атом - неопределяемое понятие, относящееся к элементам, взятым из любого множества предметов, лишь бы соблюдалось условие, что можно отличить атом от Списка. [31]
А) раскрывается посредством сведения его к последующим понятиям этой цепочки. Поскольку множество всевозможных понячий, с которыми имеют дело в математике ( к в любой другой науке), в каждый данный момент конечно, необходимо должны существовать такие понятия, которые мы считаем первичными неопределяемыми понятиями, не сводимыми ни к каким другим. Например, понятие множества в математике считается первичным неопределяемым понятием. Различные предметы по какому-нибудь признаку объединяются в одно множество и называются элементами этого множества. [32]
Об отображении одного множества в другое говорят в том случае, если каждому элементу первого множества поставлен в соответствие какой-нибудь вполне определенный элемент второго множества. Следовательно, отображение по существу представляет собой функцию. В действительности же отображение принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. [33]
Таким образом, иерархическая природа нашего восприятия заставляет нас видеть либо сумасшедший мир, либо кучу бессмысленных линий. Так же можно проанализировать и многие другие картины Эшера, опирающиеся на какие-либо стандартные формы, соединенные нестандартным образом. Когда зритель видит парадокс на высшем уровне, уже поздно возвращаться и пытаться поменять исходные интерпретации объектов нижнего уровня. Разница между рисунками Эшера и неэвклидовой геометрией заключается в том, что в последней возможно найти значимые интерпретации для неопределяемых понятий таким образом, что система становится понятной, в то время как в первой конечный результат несовместим с нашей концепцией мира, как бы долго мы не рассматривали картину. Конечно, можно придумать такие гипотетические миры, в которых Эшеровские события могут произойти... [34]
Понятия определяемые и неопределяемые. Определить то или инее понятие - значит разъяснить его смысл с помощью других, более простых или введенных ранее понятий. Таким образом, должны быть выделены такие понятия, которые принимают за основные, первоначальные. Поэтому понятия разделяют на определяемые и неопределяемые. Основными, неопределяемыми понятиями считают те, которые легче всего осмысливаются с помощью непосредственного наблюдения окружающей действительности; они вводятся в науку с помощью описания. К таким неопределяемым ( первоначальным) понятиям, как уже отмечалось, относится понятие множества. В современной математике это понятие является фундаментальным. К неопределяемым относят также понятия элемента множества, принадлежности, соответствия и многие другие. В геометрии это понятия точки, прямой, плоскости и пространства. [35]