Cтраница 1
Минимальные кривые, проходящие через до, являются траекториями гамильтоновой системы, асимптотическими к положению равновесия до. Отсюда вытекает следующее утверждение. [1]
Любая минимальная кривая является геодезической метрики Якоби везде, кроме точки QQ, где метрика вырождается. [2]
Любые две точки a, b Е М можно соединить минимальной кривой 7 из заданного гомотопического класса. [3]
Вследствие только что обнаруженной тесной связи между изотропными кривыми и минимальными поверхностями термин Ли минимальные кривые ( вместо изотропные кривые) получает теперь свое оправдание. [4]
Можно показать ( см. теорему 3.13) в точности так же, как для минимальных кривых в римановых пространствах, что если у является максимальной кривой из р в q, то у можно перепараметризовать в непространственноподобный геодезический сегмент. Этот результат можно использовать для построения геодезических в сильно причинных пространственно-временных многообразиях как предельных кривых подходящих последовательностей почти максимальных непространственноподобных кривых ( см. разд. [5]
Точка q, характеристическая для изотропной плоскости, проходящей через эту образующую, задается уравнением qc е она описывает минимальную кривую; прямая qc будет характеристикой изотропной плоскости, k будет расстоянием образующей от этой прямой. [6]
Продолжая приведение, увидим, что можно принять Y 0 ( е е1 0); речь идет о конгруэнции параллелей к касательным минимальной кривой, проведенных в соприкасающейся плоскости. [7]
Точка с m ke % будет центром сферы, которая имеет с поверхностью касание первого порядка вдоль всей образующей; записывая формулы для перемещений триэдра ( с, е е - 2, е3), находим, сравнивая с уравнениями ( I, 10.10), что точка с описывает минимальную кривую, для которой этот триэдр будет триэдром Френе. [8]
Рецензируемая книга преследует троякую цель: она содержит 1) изложение общей теории конечных непрерывных групп Ли на языке, приспособленном к дифференциально-геометрическим приложениям, 2) общее описание метода подвижного репера и 3) приложение этой теории к ряду важных примеров. Расположение материала продиктовано соображениями скорее дидактики, чем системы, Например, первые примеры глав 1 - 3 о кривых в Е3, минимальных кривых в / Г3, линейчатых поверхностей в / Г3 ( рассматриваемых как одномерные многообразия прямых) предшествуют общей формулировке. Главы 4 - 9, 11, 13, 14 посвящены группам Ли. В то время как темы 1) и 3) изложены подробно, тема 2), которой мы уделили основное внимание в настоящей рецензии, лишь кратко затронута в начале главы 10 с точки зрения групп преобразовании, а в начале главы 12 - с абстрактной точки зрения. В обеих главах далее идут приложения: кривые на аффинной и проективной плоскостях и произвольные поверхности в Е, В последнем примере - единственном, в котором рассматриваются многообразия более чем одного измерения, - заходит речь об условиях интегрируемости; хотя их роль в теории групп Ли широко обсуждается, общая формулировка этих условий как неотъемлемой части теоремы существования в теории репера опущена. [9]
Кривые в евклидовом 3 - пространств еЕ3 являются одним из простейших примеров нашей теории. О, О, 0), Системы отсчета с точкой А кривой, выбранной закачало, - порядка 0; системы отсчета, у которых, помимо этого, первая ось совпадает с касательной, - порядка 1; и, наконец, триэдр Френе является единственной системой отсчета порядка 2, На этом процесс обрывается. Для минимальных кривых в ( комплексном) Е3, для которых инвариант ds / dt равен нулю, приведенное выше упорядочение систем отсчета порядка 1 становится невозможным; они требуют особого рассмотрения, иллюстрируя наше замечание в предыдущем абзаце. [10]
Изотропные плоскости зависят от двух параметров и касаются мнимого круга в бесконечности. Поэтому поверхность, касательные плоскости к которой являются изотропными, может быть только огибающей однопараметрического-семейства. Это будет, следовательно, изотропная развертывающаяся поверхность, составленная из касательных к минимальной кривой. [11]