Cтраница 1
Замкнутая простая кривая 7 в К3 называется незаузленной, если существует взаимно-однозначная непрерывная функция g: D2 - IR3 ( D2 - единичный диск), которая отображает границу 51 диска D2 на образ кривой 7 - В противном случае кривая называется заузленной. [1]
Чему равна циркуляция этого вектора по замкнутой простой кривой ( С), не окружающей провод. [2]
Из теоремы Фейера выводим следующий результат: Координаты точки замкнутой простой кривой Жордана можно представить равномерно сходящимся рядом Фурье, при надлежащем выборе параметра. [3]
Доказанное утверждение в некотором смысле может быть распространено и на случай замкнутой простой кривой ( L если разложить ее на две незамкнутые кривые и к каждой из последних в отдельности применить лемму. Предельный переход здесь ограничен требованием, чтобы в числе точек деления были две наперед фиксированные точки [ ср. [4]
Теорема 2.8.8. Пусть D - кольцевая область, ограниченная двумя вложенными друг в друга замкнутыми простыми кривыми С и С, причем множество D U С U С не содержит ни одной особой точки. Тогда, если все полухарактеристики, выходящие как из С, так и из С, входят в область D ( или выходят из нее), то D содержит по меньшей мере один предельный цикл. [5]
В первых двух параграфах мы рассматриваем простейшую краевую задачу, известную под названием задачи Плато: затянуть замкнутую простую кривую минимальной поверхностью, гомеоморфной кругу и имеющей наименьшую площадь. Третий параграф показывает, как можно модифицировать подход к задаче Плато для решения задач с частично свободной границей. Кроме того, мы кратко обсуждаем некоторые другие краевые задачи и в последнем параграфе делаем несколько замечаний, касающихся вопросов единственности решения таких задач. [6]
Точки всей кривой находятся, следовательно, в непрерывном взаимно однозначном соответствии с действительными числами отрезка [ - 1, 31, если только принять оба конца этого отрезка за одну точку. Это выражают утверждением, что окружность является замкнутой простой кривой. Ясно, что отрезок [ - 1, 3J может быть заменен любым другим отрезком ( сравнить гл. [7]
Ясно, что далеко не каждая кусочно-гладкая кривая может служить компонентой границы области. Согласно теореме Жордана в этом качестве может выступать любая замкнутая простая кривая, но ограничивать область могут и не только простые кривые. Мы определим сейчас несколько более широкий класс кривых, которые способны быть компонентами границы области. [8]
Следовательно, так как псе решения уравнения свободны от точек разветвления и существенных особенностей в конечной части плоскости z, такие решения имеют свойства рациона л ышх функций. Таким образом любое решение, продолженное аналитически от точки г, вдоль любой замкнутой простой кривой в плоскости z, возвращается к своему начальному значению в z0, следовательно точка в бесконечности не может быть точкой разветвления. Однако она может быть существенно особой точкой. [9]
Ориентация области создается тем, что ее контуру придается определенное направление обхода - положительное или отрицательное [548]; одновременно такое же направление обхода придается и всем замкнутым простым кривым в пределах области. [10]
К настоящему времени разработан аналог теории Морса для минимальных поверхностей; упомянем лишь некоторые результаты, касающиеся содержания § § 2.1 и 2.2. Мы оставляем в стороне многочисленные важные результаты, полученные в контексте геометрической теории меры. Упомянем лишь о так называемой теореме об индексе Беме-Тромба [49] для отображения тг м: М - Л; здесь тг - проекция тг: Л / - - Д, М - множество минимальных поверхностей, рассматриваемое как расслоенное подмножество в произведении Л / Т) х х Д, где Т) состоит из соболевских представлений S1 степени 1, а Л состоит из соболевских представлений гладких простых кривых. Этот результат, например, показывает, что число решений, ограниченных замкнутой простой кривой, конечно, хотя могут существовать нерегулярные жордановы кривые ( имеющие хотя бы одну сильно особую точку), ограничивающие бесконечно много минимальных поверхностей, гомеоморфных кругу. [11]