Cтраница 1
Лемма Жордана находит многочисленные применения при вычислении широкого класса несобственных интегралов. [1]
Лемма Жордана дает возможность при вычислении интеграла вдоль прямой в комплексной области использовать теорию вычетов. Для этого рассматривается совокупность конечных отрезков, переходящих в пределе в заданную прямую. Концы каждого из отрезков соединяются какой-либо другой, а заданная на прямой функция аналитически продолжается на эти дуги, и далее рассматриваются интегралы по образованным таким образом замкнутым контурам. В лемме Жордана специально оговаривается случай, когда с увеличением длины дополнительной дуги интеграл по этой Дуге стремится к нулю. Наиболее просто требуемые оценки получаются, когда такой дугой выбирается дуга окружности. [2]
Лемма Жордана дает возможность при вычислении интеграла вдоль прямой в комплексной области использовать теорию вычетов. Для этого рассматривается совокупность конечных отрезков, переходящих в пределе в заданную прямую. Концы каждого из отрезков соединяются какой-либо другой, а заданная на прямой функция аналитически продолжается на эти дуги, и далее рассматриваются интегралы по образованным таким образом замкнутым контурам. В лемме Жордана специально оговаривается случай, когда с увеличением длины дополнительной дуги интеграл по этой дуге стремится к нулю. Наиболее просто требуемые оценки получаются, когда такой дугой выбирается дуга окружности. [3]
Леммы Жордана обычно используются при вычислении несобственных интегралов. [4]
Из леммы Жордана непосредственно следует, что интеграл по полуокружности при К - оо обращается в нуль. [5]
По лемме Жордана интеграл по контуру Г стремится к нулю, если радиус окружности бесконечно растет. [6]
По лемме Жордана предел второго слагаемого в левой части (5.42) при R - оо равен нулю. Отсюда и следует утверждение теоремы. [7]
Согласно лемме Жордана и формуле Коши, функция / ( /) может быть найдена как сумма вычетов, взятых в полюсах функции U, лежащих в верхней полуплоскости комплексной Я-плоскости, плюс сумма интегралов вдоль линий разреза, которые идут от точек ветвления U в верхней полуплоскости. [8]
По лемме Жордана первый интеграл стремится к нулю, когда я - - оо. [9]
При практическом применении леммы Жордана часто бывает удобно пользоваться следующей ее модификацией. [10]
Последний интеграл по лемме Жордана равен нулю. [11]
Возможность такой замены основывается на лемме Жордана. [12]
Эта теорема, часто называемая леммой Жордана, конечно, не является самоочевидной. В самом деле, хотя функция е ( а в левой полуплоскости при t 0 остается ограниченной и поэтому подынтегральное выражение равномерно стремится к нулю, по зато неограниченно возрастает длина пути интегрирования. [13]
В приложениях используется часто следующий аналог леммы Жордана. [14]
При решении некоторых задач удобно пользоваться леммами Жордана в несколько видоизмененной форме. [15]