Cтраница 3
Мы будем говорить, что случайные испытания стохастически независимы, если в соответствующем сложном испытании вероятность любого исхода каждого составляющего испытания не зависит от наблюденных исходов в предыдущих испытаниях. Очевидно, полная независимость, определенная в терминах осуществления событий, влечет стохастическую независимость, определенную только через вероятности. В тех случаях, когда мы будем интересоваться только стохастической независимостью, понятие повторных испытаний сводится к понятию одинаковых и стохастически независимых испытаний. [31]
С увеличением взаимовлияния ( стохас ической связи) случайных процессов X ( t) и Y ( t) возрастает их взаимная корреляционная функция. При отсутствии взаимовлияния ( при стохастической независимости) случайных процессов их взаимная корреляционная функция равна нулю. Подобные случайные процессы назыв аются некоррелированными. Однако равенство нулю взаимной корреляционной функции двух случайных процессов еще не является доказав льством их стохастической независимости. Лишь для случайных проце: сов с нормальным ( Гауссовым) распределением в сечениях некорре; ированные процессы обязательно независимы. [32]
Теория статистической корреляции восходит к тому времени, когда формализация теории была еще невозможна и понятие стохастической независимости по необходимости носила мистический характер. Уже тогда понимали, что независимость двух ограниченных случайных величин а нулевыми математическими ожиданиями влечет равенство Е ( XY) 0, однако сначала думали, чти это равенства должно быть и достаточным для независимости X и Y. После того как была обнаружена ложность этого заключении, долгое время искали условия, при которых обращение в нуль корреляции влечет стохастическую независимость. Как часто случается, история задачи и красота частных результатов затемнили тот факт, что современные методы позволяют дать чрезвычайно простое ее решение. Следующая теорема содержит различные результаты, доказанные ранее трудоемкими методами. [33]
Схема испытаний Бернулли - это теоретическая модель, и только опыт может показать, подходит ли она для описания конкретных наблюдений. Предположение о том, что последовательные бросания монеты соответствуют схеме Бернулли, подтверждается экспериментально. Марбе) разделяет мнение несведующих людей, считающих, что после семнадцати последовательных выпадений герба появление решетки становится более вероятным. Это убеждение возникает не из-за несовершенства реальных монет, а из-за того, что природа наделяется памятью, или - в нашей терминологии - отрицается стохастическая независимость последовательных испытаний. Теория Марбе не может быть опровергнута логически, но отвергается потому, что она не подтверждается эмпирически. [34]
Правда, почти все автсн ры повторяют слова математиков-вероятностников об осторожности трактовки величин коэффициентов корреляции. Но применяемый ими формальный аппарат говорит об обратном. Действительно, ь в теории вероятностей коэффициент корреляции вводится как параметр, существенность величины которого указывает на стохастическую связь, но не определяет меры связи, тем более меры причинной связи. Это чувствуют многие авторы. Хальда [30.524] мы находим следующее мнение: Определив коэффициент корреляции и проверив затем гипотезу о нулевой корреляции, можно иногда доказать существование стохастической связи между переменными. Однако необходимо подчеркнуть, что стохастическая зависимость не указывает с необходимостью на наличие функциональной1 связи. Коэффициент корреляции хотя и может указывать на стохастическую связь между Xi и xz, но при помощи него нельзя определить, является ли величина х причинно обусловленной величиной х2, или х2 - величиной xit или же их связь объясняется тем, что обе они причинно обусловлены другими факторами. Следовательно, и при значимом коэффициенте корреляции для определения наличия функциональной связи требуется дополнительное исследование. При дальнейшем исследовании, которое прежде всего должно основываться на знании специфики проблемы, регрессионный анализ часто играет важную роль как средство проверки сделанных гипотез. Часто стохастическая связь бывает очень тесной, а причинная вовсе отсутствует. Хальд в своей работе [30.22-23]: В то время как стохастическая независимость может скрывать причинную связь, два события могут быть стохастически зависимыми, даже если они причинно ( функционально) независимы. Если события ( / и V стахастически и причинно независимы, но каждое из них в отдельности зависит от третьего события W, то U и V часто кажутся стохастически зависимыми, если связь их с W не замечается. [35]