Cтраница 3
Из общих теорем тензорного анализа известно, что при наличии такого рода зависимостей тензор напряжений будет квадратичной функцией как от тензора скоростей деформаций, так и от тензора ускорений деформаций со скалярными коэффициентами, зависящими от инвариантов указанных кинематических тензоров. Совершенно очевидно, что наличие квадратичных членов в тензорных уравнениях реологического состояния всегда приводит к появлению нормальных напряжений для случая течения жидкости в условиях простого сдвига. [31]
Необходимость применения аппарата тензорного анализа возникает во всех тех случаях, когда приходится привлекать метод координат для математического изучения свойств разного рода физических явлений, относительно которых имеется в достаточной степени полная система непротиворечивых данных для создания абстрактной модели в терминах математических понятий. Координатный метод позволяет осуществить параметризацию моделей ( геометрических построений, логических схем и др.) при помощи конечного или бесконечного числа параметров ( координат), к которым можно применять те или иные математические операции. [32]
Важное место в тензорном анализе занимает операция ковариантного дифференцирования. [33]
Важное значение в тензорном анализе имеет теорема Раччи: ковариантные производные ковариантных, смешанных и контрава-риантных составляющих метрического тензора равны нулю. [34]
Очень часто в тензорном анализе над матрицами приходится производить операцию умножения. Для этого недостаточно, чтобы элементы матрицы принадлежали только некоторой аддитивной группе. Для аддитивных групп, вообще говоря, не определена операция умножения. Поэтому мы должны принять дополнительно ограничения относительно матриц, которые будем перемножать. [35]
Как уже указано, тензорный анализ был в существенной своей части построен Риччи и Леви-Чивита и опубликован ими в мемуаре 1901 г. Ему не было уделено достаточно внимания, и в начале десятых годов текущего столетия эти идеи были мало кому известны. Они возродились к новой жизни, когда Эйнштейну в ходе развития общей теории относительности понадобилось орудие, дающее возможность составлять инвариантные дифференциальные уравнения физических явлений, то есть такие уравнения, которые не зависят от системы референции. Развитие теории относительности было, таким образом, тесно спаяно с тензорным анализом, и в первые годы после появления названного мемуара его разработкой занимались преимущественно физики и астрономы. Основная работа Эйнштейна 1916 г / 4 содержала уже чрезвычайно изящное, краткое, но углубленное изложение тензорного анализа, сохраняющее свое классическое значение до настоящего времени. [36]
Поэтому не случайно проникновение тензорного анализа в теорию пространственных механизмов, представляющих собой весьма сложные пространственные системы взаимно связанных звеньев, относительные движения которых отличаются определенными инвариантными свойствами. [37]
Читатель, знакомый с тензорным анализом, заметит, что если рассматривать символ b как сокращенное обозначение совокупности контравариантных Ь или ковариантных hi компонент вектора в произвольной криволинейной системе координат, a S - как сокращенное обозначение совокупности компонент тензора, то приведенные выше определения инвариантны по отношению к произвольным преобразованиям координат. [38]
Объектами прямого исчисления в тензорном анализе явились экстенсивы Основные алгебраические операции над экстенсивами можно определить непосредственно, каковы бы ни были эти экстенсивы. У Грассмана фактически эти основные определения даны. [39]