Cтраница 3
Точнее, при всех у 0 из плоскости TTj резонансные двумерные торы невозмущенной задачи распадаются при добавлении возмущения, причем для малых е 0 возмущенная задача имеет четное число невырожденных периодических решений. Половина из них имеет гиперболический тип, а половина - эллиптический. [31]
Это означает, что, выбирая в качестве N / ft любое число из интервала ( 53), можно утверждать, что при 81 возмущенная задача ( 47) имеет единственное решение, представляющееся в виде сходящегося ряда, и для ее решения можно воспользоваться алгоритмом возмущений. [32]
И исходное, и все возмущенные решения заранее считаются непродолжаемыми, а вопрос ставится так: можно ли гарантировать, что при малых отклонениях правых частей возмущенной задачи от правых частей исходной задачи возмущенное решение будет иметь близкую к исходной область определения и на ней будет мало отличаться от исходного решения. [33]
Есди 11 очень мала сравнительно с Н, то можно значения pi и / f в не-возмущенной задаче ( для 2 0) принять за их приближенные значения в возмущенной задаче и новые значения pi и qt представить так, что они сохранят прежнюю аналитическую форму, но на место прежних произвольных постоянных ( или элементов, говоря на языке астрономов) теперь войдут - функции времени. Это дает ту выгоду, что мы получаем как первое приближение не функции времени, содержащие постоянные величины, а сами постоянные - элементы невозмущенной задачи. [34]
Рассмотрим возмущенную задачу вида (8.2), где А ( &) - А, Ь ( б) Ь, с ( б) с бс. [35]
Рассмотрим три способа оценки влияния ошибок в задании исходной задачи на ее решение. Пусть имеется исходная задача АхЬ и возмущенная задача АхЬ г, где г описывает возмущение и правой части, и коэффициентов матрицы А. Это означает, что если возмущенная матрица имеет вид А4 - 6А, то 6Ах просто переносится в правую часть и включается в г. Это не совсем правильно, поскольку 6А умножается на х, однако надо иметь в виду, что мы проводим сейчас грубые оценки. Наша цель состоит в оценке 6х х-х через г и данные задачи, а более точно, в оценке того, как ошибка г в правой части системы b передается в бх. [36]
Причина, по которой имеет определенный смысл заняться упрощенной невозмущенной задачей, заключается в том, что невозмущенная задача довольно близка к интересующей нас задаче, так что ее решение имеет по меньшей мере некоторое отношение к решению действительно нужной задачи. Более того, обычно удается найти решение возмущенной задачи в виде ряда по степеням некоторого параметра, входящего в виде множителя при возмущении, - так, например, как входит множитель Л в выражение (7.101); тогда можно надеяться - поскольку предполагается достаточная малость Я, - что несколько первых членов полученного ряда обеспечат хорошую аппроксимацию решения возмущенной задачи. [37]
Причина, по которой имеет определенный смысл заняться упрощенной невозмущенной задачей, заключается в том, что невозмущенная задача довольно близка к интересующей нас задаче, так что ее решение имеет по меньшей мере некоторое отношение к решению действительно нужной задачи. Более того, обычно удается найти решение возмущенной задачи в виде ряда по степеням некоторого параметра, входящего в виде множителя при возмущении, - так, например, как входит множитель Я в выражение (7.101); тогда можно надеяться - поскольку предполагается достаточная малость А, - что несколько первых членов полученного ряда обеспечат хорошую аппроксимацию решения возмущенной задачи. [38]
По аналогии рассмотрим идею использования формул теории возмущений (6.18), (6.27) применительно к задаче идентификации переходных процессов. Здесь существенно то обстоятельство, что точное решение возмущенной задачи динамики - возмущенная выходная характеристика - может быть получено в динамическом или статистическом эксперименте на реакторной установке. [39]
Более того, как установил С. А. Довбыш [49], в несимметричном случае при малых е 0 обязательно существуют двоякоа-симптотические траектории ( не обязательно гетероклинные, как в невозмущенной задаче), причем соответствующие пересекающиеся асимптотические поверхности не совпадают. С учетом этого обстоятельства из теоремы 1 § 2 вытекает неинтегрируемость возмущенной задачи в существенно более сильном смысле: уравнения движения не допускают нетривиального аналитического поля симметрии. [40]
Все рассмотренные численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений обладают одним общим свойством. Именно, реально вычисленное решение ( псевдорешение) является точным для некоторой возмущенной задачи. Выполненные исследования показывают, что эти возмущения весьма малы и нередко соизмеримы с ошибками округления входных данных. Если входные данные получены посредством каких-либо измерений или предварительных расчетов, то обычно они уже содержат значительно большие ошибки. [41]
Фурье Нт 1 отличны от нуля. Как показано в работе [149], при условиях (2.4) вековое множество В в возмущенной задаче состоит из бесконечного числа замкнутых кривых, охватывающих точку у, причем замыкание множества В состоит из одной точки у, которой отвечает неустойчивое вращение волчка Лагранжа вокруг вертикали. Однако функция Гамильтона Но имеет при у у особенность, следовательно, теорема 3 непосредственно не применима. [42]
Описывается метод возмущений, по которому строится базовая задача и класс порождаемых ею возмущенных задач. Основная идея состоит в утверждении, что вместо того, чтобы для каждой из возмущенных задач искать свое особое решение, надо найти решение порождающей задачи и определить поправку к нему. Утверждается, что метод предназначен как для линеаризации нелинейных задач математического программирования, так и для декомпозиции их. [43]
Инвариантный тор 1 1 невозмущенной задачи сплошь заполнен траекториями периодических решений. Спрашивается, если р, ф 0, но очень мало, существуют ли периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от параметра / х и при / х 0, совпадающие с некоторыми периодическими решениями невозмущенной системы. [44]
Первый вопрос, возникающий из сопоставления задач (8.1) и (8.2), касается проблемы существования решения у возмущенной задачи. [45]