Cтраница 4
Следует, однако, заметить, что этот метод распространяется на сингулярно возмущенные системы более общего вида. Подробный анализ основных идей метода, его дальнейшее развитие и связь с вопросом так называемой регулярпзапии сингулярно возмущенных задач содержится в работах С. А. Ломова ( см., например. [46]
При этом сумма (10.6) заведомо отлична от нуля. Ряд Фурье Н имеет конечное число гармоник, поэтому теорема 1 гарантирует лишь наличие конечного числа семейств гиперболических торов возмущенной задачи, что недостаточно для доказательства ее неинтегрируемости. [47]
Исследования Пуанкаре [12] показали, что ряды вида ( 167) т хотя и расходятся, тем не менее весьма полезны в небесной механике, так как опи также являются асимптотическими. Именно асимптотический характер рядов ( 167) дает возможность строить хорошие приближенные решения уравнений ( 151), если они описывают слабо возмущенную задачу. В случае сильно возмущенных задач проявляется основной дефект асимптотических рядов ( 167), заключающийся в том, что они никак не учитывают особенности самих задач. В порождающем решении ( 155) отсутствует в каком-либо виде эффект больших возмущений, поэтому оно плохо описывает сильно возмущенную задачу. Иными словами, возмущения порождающего решения будут содержать члены с малыми знаменателями. [48]
Локальная асимптотика, не содержащая, однако, информации о поведении решений в в настоящее время известна для достаточно широкого круга сингулярно возмущенных задач. [49]