Cтраница 3
Если рассматриваемый нами цикл возвести в пятую степень, то в соответствии все с тем же принципом каждый элемент уступит место элементу, стоявшему на пятом месте позади него, и мы получим тождественную подстановку. [31]
Как и в предыдущем примере группы С4, представление четверной группы с помощью подстановок подсказывает конкретную интерпретацию, основанную на перемещениях четырех объектов. Тождественная подстановка mt оставляет все вершины в первоначальном положении. Правильный тетраэдр можно перевести из начального положения в положение, соответствующее результату подстановки / п2, вращением на 180 вокруг оси АВ, изображенной на рис. 10.4 Ось АВ проходит через середины двух противоположных ребер 1 - 2 и 3 - 4, Мы будем называть ее медианой тетраэдра. [32]
Подстановка называется четной, если число транспозиций в любом из ее представлений четно; в противном случае она называется нечетной. Тождественную подстановку ( единицу группы) будем считать четной, так как в нее не входит ни одна транспозиция. Четность или нечетность данной подстановки не зависит ог ее конкретного представления с помощью транспозиций. [33]
Непосредственно проверяется, что произведение двух четных подстановок четно, произведение двух нечетных подстановок-четно, а произведение четной и нечетной подстановок и нечетной подстановки на четную - нечетно. Отметим также, что тождественная подстановка четна. [34]
Э-i a полугруппа дая е инверсна. Действительно, ее идедшотентами служат тождественные подстановки к для всех подмножеств A Q М и, как легко проверить, только они. [35]
Так как в группу входит тождественная подстановка, то отличных от тождественной в группе имеется N - 1 подстановок. [36]
Очевидно, такой цикл - это тождественная подстановка. [37]
Наоборот, из последнего соотношения следует, что ( s - KQr) Sj, Таким образом, соотношение ( s () тг ( g) sf выполняется тогда и только тогда, когда HxiT: l ( g) Hx. В частности, тс ( g) - тождественная подстановка тогда и только тогда, когда ( g) тождественна. Итак, Р и Р1 являются гомоморфными образами группы G с одним и тем же ядром, причем соответствие тг ( g) TCJ ( g) является изоморфизмом между ними. [38]
Эти исследования были продолжены в работах С.М. Буравлева [3-5] и A.M. Шойтова [6-8], где в качестве Н рассматривались и другие группы. При Н е ( напомним, что е - тождественная подстановка) / / - эквивалентными будут только совпавшие цепочки. [39]
Если этот элемент оставляет неподвижной единицу, то ясно, что gr - необходимо тождественная подстановка, и остается автоморфизм аср. [40]
Группы, содержащие собственные изолированные подгруппы, мало изучены. Класс таких групп содержит, например, расщепляемые группы и дважды транзитивные группы подстановок, у которых только тождественная подстановка оставляет на месте три символа. [41]
Изучение уравнений вида Xd e в симметрической группе Sn прямо связано с одной из важных характеристик элементов группы Sn, с порядком подстановок. Порядком On ( s) подстановки s e Sn называется наименьшее целое положительное число k такое, что sk - тождественная подстановка. [42]
Все подстановки ге-й степени с определенным умножением подстановок в качестве групповой операции образуют некоммутативную группу. Это нетрудно доказать, проверяя выполнение свойств 1) - 3), определяющих группу: произведение подстановок опять будет подстановкой; роль единицы будет играть тождественная подстановка; для любой подстановки я-й степени существует обратная подстановка; операция умножения подстановок ассоциативна. Убедимся на примере подстановок четвертой степени, что умножение подстановок некоммутативно. [43]
Все подстановки я-й степени с бинарной операцией ( умножением) образуют некоммутативную группу. Это нетрудно доказать, проверяя выполнение свойств 1) - 3), определяющих группу: произведение подстановок опять будет подстановкой; роль единицы будет играть тождественная подстановка: для любой подстановки я-й степени существует обратная подстановка; операция умножения подстановок ассоциативна. Убедимся на примере подстановок четвертой степени, что умножение подстановок некоммутативно. [44]
Рассмотрим взаимно однозначное отображение / множества Е на себя. Всякий элемент а Е переходит в элемент / ( а); обратная подстановка f - l переводит / ( а) в a; f ( а) а является тождественной подстановкой. [45]