Cтраница 2
Почти всегда выполненное условие на собственные числа, достаточное для голоморфной эквивалентности ростка своей линейной части, оценивает малые знаменатели снизу через порядок соответствующего резонанса. [16]
Говоря о методе доказательства, А.Н. Колмогоров отмечает, что в его основе лежит переработка широко дискутировавшейся в литературе по небесной механике идеи о возможности избежать появления ненормально малых знаменателей при расчете возмущенных орбит [ Б: кн-48, с. Хорошо известен следующий пример малого знаменателя: 2ол - 5w2 0 007, где ал 299 1 и w2 120 5 - частоты движения Юпитера и Сатурна. [17]
Отказ от обычных рядов по степеням малого параметра при построении решений; применение нового итерационного метода типа метода Ньютона [115], основанного на последовательной замене переменных и обладающего ускоренной сходимостью, которая позволяет погасить влияние малых знаменателей. [18]
Лебегова мера множества Ла равна нулю, но, к сожалению, оно всюду плотно в интервале ( О, 1), и это является одним из основных препятствий па пути решения динамических задач, в которых могут появиться малые знаменатели. Неравенство ( 16) и аналогичные ему другие оценки играют ключевую роль в борьбе с отрицательным эффектом малых знаменателей. [19]
Знаменитая-проблема малых знаменателей возникла при исследовании дифференциальных уравнений, описывающих движение в планетных и спутниковых системах в ньютоновских гравитационных полях. Впервые малые знаменатели обнаружил Лаплас в 1784 г., изучая движение 10пи - тера и Сатурна вокруг Солнца. [20]
Это позволяет контролировать малые знаменатели. [21]
В компактном случае ( k - п) обычно предполагается, что средние значения функций Sm ( т 1) на Т равны нулю. Возникающие при этом малые знаменатели препятствуют сходимости формальных рядов. [22]
В той области интегрирования по d k, где &0 достаточно велико, эта поправка содержит лишнюю степень Zv, и поэтому несущественна. Появляющийся в результате малый знаменатель компенсирует лишний малый множитель Za. To же самое относится, очевидно, и к поправкам всех вообще порядков по внешнему полю. Другими словами, в области малых частот виртуальных фотонов внешнее поле должно учитываться точным образом. [23]
Вопрос связан с малыми знаменателями из-за динамической системы, определяемой асимптотическими линиями на параболической кривой. Эта система сама заслуживает изучения. [24]
Говоря о методе доказательства, А.Н. Колмогоров отмечает, что в его основе лежит переработка широко дискутировавшейся в литературе по небесной механике идеи о возможности избежать появления ненормально малых знаменателей при расчете возмущенных орбит [ Б: кн-48, с. Хорошо известен следующий пример малого знаменателя: 2ол - 5w2 0 007, где ал 299 1 и w2 120 5 - частоты движения Юпитера и Сатурна. [25]
Рассуждение, приводящее к построению Л, при котором сопрягающий гомеоморфизм для рх сингулярен, таково, что число вращения а ( / х) получается чрезвычайно быстро аппроксимирующимися рациональными числами. Опыт, связанный с малыми знаменателями, подсказывает, что подобная аномально быстрая аппроксимация может быть источником, патологии. Поэтому Арнольд выдвинул следующую гипотезу [25]: существует такое множество М полной меры, что для каждого / я е М и каждого сохраняющего ориентацию аналитического диффеоморфизма р: Sl - - S1 с числом вращения ц гомеоморфизм %, сопрягающий ф с поворотом окружности, является аналитическим. В [25] эта гипотеза доказана, грубо говоря, для диффеоморфизмов, достаточно близких к повороту х - х м - позднее были получены аналоги этого результата для конечной гладкости. [26]
Далее интервал интегрирования [0,1] разбивается рациональными несократимыми дробями вида а / 6, 0оЬ: т, т - параметр, зависящий от N, на подинтервалы, подобные большим и малым дугам кругового метода. Интервалы, отвечающие дробям с малыми знаменателями, и сумма интегралов по ним дают главный член асимптотич. Вейля и получает остаточный член. Причем главным в таких задачах является вопрос о возможно более точной оценке модуля тригонометрич. [27]
Еще один метод доказательства неинтегрируемости гамильто-новых систем основан на оценках снизу коэффициентов степенных рядов для формальных интегралов, существующих по теореме Виркгофа ( см. § 11 гл. Причиной расходимости здесь снова оказываются аномально малые знаменатели - почти резонансные соотношения между частотами малых колебаний в окрестности положений равновесия. [28]
Для нерезонансного набора Я множество чисел ( Я, k) - hj ( k, /) e / имеет предельную точку нуль, если и только если Я принадлежит области Зигеля. Числа из этого множества и называются малыми знаменателями; их появление затрудняет сходимость нормализующих рядов. [29]
Рассматривая консервативные динамические системы, А. Н. Колмогоров ввел метрическую точку зрения, которая позволяет изучать свойства не всех возможных движений, а основной массы движений, соответствующих не всем, а почти всем начальным условиям. Колмогоров предложил для исследования задач с малыми знаменателями новый в теории динамических систем итерационный метод, обладающий свойством ускоренной сходимости по сравнению с геометрической прогрессией. Идею такого метода в самой первичной фроме для задач небесной механики мы встречаем у С. [30]