Cтраница 2
С ( соответственно R lVK - При изгибаниях поверхности не изменяется гауссова кривизна / С как величина, выражающаяся исключительно при помощи коэффициентов метрической квадратичной формы. Следовательно, поверхность можно получить из другой поверхности посредством изгибания лишь в том случае, когда у них одинаковая гауссова кривизна. Необходимость этого условия очевидна. Доказательство же достаточности в общем случае приводит к нелинейной задаче уравнений в частных производных. В частности, мы уже доказали, что только поверхности нулевой гауссовой кривизны изгибаются ( развертываются) на плоскость. [16]
Наиболее выдающимся достижением последнего времени в трудной области изгибания поверхностей в целом является, несомненно, теорема С. П. Оловянишникова [2], открытая им в 1941 г. Речь идет об изгибании бесконечных полных выпуклых поверхностей, гомеоморф-ных плоскости. Точно результат С. П. Оловянишникова состоит в следующем. Пусть F-бесконечно полная выпуклая поверхность с полной криризной 2 -, ориентированная указанием обхода какого-либо контура. [17]
Соотношение (3.1) органически связывает безмоментную теорию оболочек с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Эта связь весьма плодотворна. Совместное рассмотрение задач дает возможность глубже и полнее изучить их. Оно означает, что для реализации мембранного состояния напряженного равновесия необходимо и достаточно, чтобы работа внешней нагрузки на перемещениях, соответствующих бесконечно малым изгибаниям срединной поверхности оболочки, равнялась нулю. [18]
Она, в отличие от первой, существенно меняется при изгибании поверхности. Отношение второй квадратичной формы к первой определяет нормальную кривизну соответствующей кривой на поверхности. [19]
Сам термин внутренняя геометрия применительно к свойствам, сохраняющимся при изгибании поверхности, означает, что они присущи именно самой поверхности и не связаны с ее вложением в пространство. Поясним это следующим мысленным экспериментом. Представим себе, что поверхность населена некими двумерными существами, достаточно разумными, но не имеющими никаких выходов в окружающее эту поверхность пространство. [20]
Таким образом, свойство кривой быть геодезической линией не нарушается при изгибании поверхности. Приведенное определение, очевидно, эквивалентно следующему: кривая L есть геодезическая линия, если в каждой ее точке, где кривизна отлична от нуля, ее главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности в этой же точке. [21]
Первое определение подразумевало бы теорему: произведение главных радиусов кривизны при изгибании поверхности остается неизменным; второе - другую теорему: в одной и той же точке поверхности разность между суммой углов бесконечно малого треугольника и двумя прямыми углами пропорциональна площади треугольника. Чтобы дать геометрическое истолкование мере кривизны га-кратно протяженного многообразия в данной точке относительно данного через нее проходящего плоского элемента, нужно исходить из того, что кратчайшая линия, выходящая из данной начальной точки, определяется полностью, если указано ее начальное направление. Отсюда следует, что мы получим совершенно определенную поверхность, если продолжим все кратчайшие линии, выходящие из данной точки и имеющие начальные направления, лежащие в данном плоском элементе. Эта поверхность имеет в данной точке определенную меру кривизны, каковая и есть мера кривизны га-кратно протяженного мнообразия в данной точке относительно данного плоского элемента. [22]
Подобным образом овладевают с помощью диференциаторов различными величинами, не изменяющимися при изгибании поверхности. В самом деле, рассмотренные нами выражения остаются инвариантными при изгибании, так как они определяются инвариантным образом. [23]
Известно, что геодезическая кривизна линии / на поверхности остается неизменной при любом изгибании поверхности. Последнее возможно лишь в том случае, когда касательные плоскости в точке Mi линии / к поверхности Ф ] и Ф2 симметричны относительно соприкасающейся плоскости линии / в той же точке. [24]
Другой вопрос геометрии im Grossen, где достигнуты законченные результаты, есть проблема изгибания поверхности в целом. [25]
Гибкость ( эластичность) - свойство пленки не получать трещин или не отслаиваться при изгибании поверхности изделия. Это свойство пленки особенно важно для изделий, подвергающихся в процессе работы вибрации. [26]
Петер-соном ( 1828 - 1881) направление в области дифференциальной геометрии, относящееся к теории изгибания поверхностей. Млодзеевский был прекрасным лектором и пользовался среди студентов большим уважением. [27]
Изложение геометрической теории устойчивости выпуклых упругих оболочек, опирающейся на основное факты теории конечных и бесконечно малых изгибаний поверхностей. В книге содержится ряд новых результатов, полученных в последние годы. [28]
Ненулевые решения этой системы относительно if, w, удовлетворяющие геометрическим граничным условиям, называются бесконечно малыми изгибаниями поверхности. [29]
Обратимся теперь к тем задачам метрической геометрии, которые не вливаются в общее русло работ по изгибанию поверхностей. [30]