Cтраница 3
Предлагаемая книга содержит популярное изложение геометрической теории устойчивости упругих оболочек, основанной на некоторых результатах теории конечных и бесконечно малых изгибаний поверхностей. [31]
ВЕКУА МЕТОД в теории бесконечно малых изгибаний - метод, заключающийся в том, что нек-рые величины, характеризующие изгибание поверхностей положительной гауссовой кривизны К, в сопряженно-изотермической параметризации являются обобщенными аналитическими функциями. Это обстоятельство позволяет свести задачу исследования изгибания поверхностей переменной А 0 к определенной задаче для поверхностей с Jfconst0, бесконечно малые изгибания к-рых описываются обычными аналитич. [32]
ГАУССА ТЕОРЕМА ( theorema egregium): гауссова кривизна ( произведение главных кривизн) регулярной поверхности в евклидовом пространстве Е3 не меняется при изгибаниях поверхности. Здесь регулярность означает С3 - гладкое погружение. [33]
Таким образом вновь появляется конгруэнция осей со циклов Рибокура, причем каждая ось несет на себе оо1 циклических систем, расположенных на одной сфере, имеющей ось своим диаметром. При изгибании поверхности на главном основании лучи конгруэнции переносятся, неразрывно связанные с перпендикулярными к ним касательными плоскостями поверхности. При этом развертывающиеся поверхности при изгибании остаются развертывающимися и все время соответствуют основанию изгибания. Конгруэнция остается циклической, а сферы, несущие циклы, расширяются или сжимаются, сохраняя свои центры на лучах конгруэнции так, что линия пересечения с касательной плоскостью поверхности остается неизменной. [34]
Им решены трудные проблемы малых изгибаний поверхностей и тесно с ними связанные задачи безыоментной теории оболочек. АН ГДР ( 1958), Германской академии естествоиспытателей Леопольдина ( 1968), почетный доктор Йенского ун-та ( 1969), иностранный чл. [35]
ВЕКУА МЕТОД в теории бесконечно малых изгибаний - метод, заключающийся в том, что нек-рые величины, характеризующие изгибание поверхностей положительной гауссовой кривизны К, в сопряженно-изотермической параметризации являются обобщенными аналитическими функциями. Это обстоятельство позволяет свести задачу исследования изгибания поверхностей переменной А 0 к определенной задаче для поверхностей с Jfconst0, бесконечно малые изгибания к-рых описываются обычными аналитич. [36]
В работах Ф и н и к о в а [ 1, 16) был поставлен общий вопрос об изгибании конгруэнции с инвариантными развертывающимися поверхностями. В общем случае он приводит к изгибанию поверхности более общего вида, когда коэффициенты второй квадратичной формы изгибающейся поверхности удовлетворяют линейному неоднородному уравнению с коэффициентами, зависящими только от линейного элемента поверхности. Это изгибание было затем исследовано автором в отдельной статье [7] под названием изгибания на кинематически сопряженном основании. [37]
В этом нетрудно наглядно убедиться, если начертить на листе бумаги произвольные линии Я фигуры и произвести какое-либо изгибание плоского листа, свернув его, например, в цилиндр. Все такие свойства, не изменяющиеся при изгибании поверхности, были названы внутренними свойствами поверхности. Эти свойства связаны с самой структурой поверхности и отличны от тех, которыми она обладает как поверхность, вложенная в евклидово трехмерное пространство. Исключительным достижением Гаусса является именно открытие того факта, что, помимо обычной геометрии, изучающей форму поверхности так, как она нам представляется извне, существует более глубокая, внутренняя геометрия поверхности, изучающая самые существенные, внутренние ее свойства. [38]
Между безмоментным ( точнее, безызгибным) и чисто-изгиб-ным состояниями г существует тесная связь. С помощью статико-геометрической аналогии можно показать, что каждому бесконечно малому изгибанию поверхности отвечает некоторое безмоментное напряженное состояние, и наоборот. [39]
F и G, как известно, суть функции от и и с. По существу это, конечно, вытекает из первого факта, потому что изгибание поверхности математически тем и определяется, что коэффициенты Е, F, G при той же координации сохраняют свои значения, а вместе с тем сохраняет свое значение и кривизна поверхности в каждой ее точке. [40]
Из него вытекает, что / С полностью определяется коэффициентами первой квадратичной формы. Это чрезвычайно важное положение возвращает нас к затронутому в § 1.1 понятию об изгибании поверхностей. Эта деформация характеризуется тем, что первая квадратичная форма поверхности остается неизменной, и можно теперь сделать вывод, что при изгибании поверхности остается неизменной также и ее гауссова кривизна, хотя главные кривизны, конечно, будут меняться. [41]
В самом начале рассматриваемого периода вышли в свет две диссертации: С. С. Бюшгенса [1] и С. П. Финикова [1], посвященные задаче изгибания поверхности на главном основании. [42]
Выражение, стоящее в правой части формулы (1.6), называют первой квадратичной формой поверхности. В курсах дифференциальной геометрии ( см., например, [59]) доказывается, что первая квадратичная форма не изменяется при изгибании поверхности без растяжения. [43]
Первое слагаемое этой суммы называется геодезическим, дифференциалом вектора a ( t) и обозначается через Da. Составляющие геодезического дифференциала, как видно из их структуры, зависят, кроме ui, dui, dait только от символов Г / / и потому не изменяются при изгибании поверхности Рп. Составляющая по нормали - вынужденный дифференциал - зависит от коэффициентов второй квадратичной формы и, вообще говоря, изменяется при изгибании поверхности. [44]
Строго говоря, первая теорема об изгибании поверхностей в целом принадлежит Коши, который доказал в ] 813 г., что два замкнутых выпуклых многогранника, одинаково составленных из разных граней, равны. Этот классический результат лежал в стороне от дифференциально-геометрической теории поверхностей, но если привлечь к рассмотрению любые выпуклые поверхности, то он, естественно, включается в общий комплекс теорем об изгибании поверхностей в целом. В 1941 г. С. П. Оловянишников [3] дал окончательное обобщение теоремы Коши: выпуклая поверхность, изометричная замкнутому выпуклому многограннику, сама есть равный ему многогранник. [45]