Cтраница 4
В многочисленных статьях [5, 8, 9, 11 - 20] он обстоятельно рассмотрел изгибание конгруэнции с сохранением главных распределительных и других специальных систем линейчатых поверхностей конгруэнции. Наиболее интересно изгибание изотропной конгруэнции ( С. Д. Российский [ 5, б, 7, 10 ]), лучи которой перпендикулярны к присоединенным касательным плоскостям некоторой поверхности S и которая остается изотропной при изгибании поверхности S на главном основании. [46]
Задачи разыскания геодезических линий, определения операций ковариантного дифференцирования и параллельного переноса вектора на поверхности также относятся к внутренней геометрии. При изгибании поверхности, не сопровождаемом изменением длин линий на ней, перечисленные величины остаются неизменными - они представляют инварианты изгибания. Нормальная кривизна не является, конечно, инвариантом изгибания. Этим объясняется, что коэффициенты второй квадратичной формы принципиально не могут быть вычислены при задании только метрического тензора. Их определение было связано с введением вектора нормали т поверхности. [47]
Кроме очевидного изгибания поверхностей постоянной гауссовой кривизны, ни одна поверхность не остается поверхностью Вейпгартепа при всех изгибаниях. Существуют, однако, поверхности, допускающие изгибание на главном основании, не выводящие их из класса поверхностей Вейнгартена. Кроме тривиального случая изгибания минимальной поверхности и изгибания поверхностей Монжа с сохранением линий кривизны, автор находит некоторый класс ( двуиараметричсское семейство) поверхностей Фосса, которые вместе с те. [48]
Рассмотрим еще случай движения материальной точки по развертывающейся поверхности. Длина дуги и геодезическая кривизна траектории, будучи инвариантами изгибания поверхности, сохраняют свою величину при развертывании поверхности на плоскость. Геодезическая кривизна становится кривизной плоской траектории точки. Поэтому уравнения движения по развертывающейся поверхности записываются в форме уравнений движения точки по плоскости под действием активной силы, равной составляющей, приложенной к точке силы в касательной плоскости к поверхности. [49]
Изгибаются линейчатые поверхности, и изгибание их зависит от произвольной функции одного аргумента. Кроме линейчатых изгибаются только поверхности Е l Tritreica n и Demoulin a, о которых я говорил выше. Если поверхность имеет только одну сопряженную систему R 2, то изгибание поверхности зависит от одного параметра на поверхности; если на поверхности есть оо1 систем В, то изгибание зависит от 2 параметров; наконец, существуют поверхности с оо2 системами Д их изгибания зависят от 3 параметров. [50]