Фактормногообразие - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2
В жизни всегда есть место подвигу. Надо только быть подальше от этого места. Законы Мерфи (еще...)

Фактормногообразие

Cтраница 2


Поскольку инвариантное пространство струй 1 ( для - действия группы само является инвариантным относительно продолженного действия группы pr ( n) G, мы можем определить факторпространство / / рг С, сжимая орбиты продолжения pr ( re) G в / in) в точки. В случае когда G действует на многообразии М регулярно, это продолженное фактормногообразие можно отождествить с пространством п-струй соответствующего фактор многообразия М / С. Этот результат, и формулировка, и доказательство которого становятся элементарными на языке расширенных расслоений струй ( но заметно усложняются, если мы останемся в обычном пространстве струй, как будет видно впоследствии), немедленно приводит к редуцированной системе дифференциальных уравнений для G-инвариантных решений.  [16]

В теории римановых поверхностей обычно говорят, что риманова поверхность принадлежит классу 00, если она не имеет функции Грина. Ничто не мешает перенести эту терминологию на произвольные римановы многообразия и даже на те фактормногообразия Ш ( Г), которые, возможно, не являются многообразиями.  [17]

Он пользовался тем фактом, что локально ( в этальной топологии) X является фактормногообразием неособого многообразия по конечной группе и что глобально X есть фактормно-гообразие многообразия Коэна - Маколея по конечной группе, которое доминирует локальные карты.  [18]

Пусть Г - фундаментальная группа многообразия V и V - универсальное накрывающее пространство этого многообразия. Диагональное действие группы Г на V х V собственно и свободно; обозначим через W фактормногообразие ( V х V) / T и через р: V х V - W отображение факторизации.  [19]

Все дифференцируемые многообразия предполагаются обладающими счетной базой или, что равносильно, сепарабельными. Во всех случаях, когда многообразие появляется в результате какой-то конструкции ( например, подмногообразие, фактормногообразие, накрывающее многообразие, прямое произведение многообразий), его сепарабельность легко проверяется, и мы не будем упоминать об этом.  [20]

Группа Ли G называется унимодулярной, если левоинва-риантная мера Хаара на ней также и правоинвариантна. Если в G есть такая дискретная подгруппа Н, что левоинвариант-ная мера Хаара на G индуцирует на фактормногообразии H G конечную меру, то группа G должна быть унимодулярной. Действительно, действие группы G на себе правыми умножениями опускается до действия группы G на многообразии H G, которое должно сохранять полную меру этого многообразия. Таким образом, интересующая нас группа Ge унимодулярна.  [21]

Как и в случае групп, свободно действующих на Е3, ясно, что каждое из описанных семи многообразий обладает структурой расслоения над одномерным орбиобразием. Действительно, многообразие S2 X R расслоено на двумерные сферы 52 X точка, и это слоение опускается до слоения всех фактормногообразии. R и Р2 X R базовым орбиобразием служит R, а для нетривиального линейного расслоения над Р2 - полуинтервал, имеющий одну отражающую точку.  [22]

В программе строгого обоснования общей процедуры построения инвариантных относительно группы решений дифференциальных уравнений имеется одно основное препятствие, которое нужно преодолеть. Вообще говоря, если система дифференциальных уравнений Л определена на открытом подмножестве Mc Xy U пространства независимых и зависимых переменных, на котором регулярно действует группа симметрии G, то редуцированная система дифференциальных уравнений А / С для С-инвариантных решений будет естественно определена на фактормногообразии М / С. Трудность состоит в том, что, хотя M / G обладает структурой гладкого многообразия, оно, вообще говоря, не будет открытым подмножеством никакого евклидова пространства, и поэтому наши предыдущие построения пространств струй и продолжения действия групп больше неприменимы. Здесь s обозначает размерность орбит группы G. В этот момент появляется вторая трудность, состоящая в том, что, вообще говоря, нет естественного способа различить, какие из инвариантов v будут новыми независимыми переменными, а какие будут новыми зависимыми переменными. Если группа G действует проектируемо, то, как мы видели, имеется в точности р - s инвариантов, зависящих только от х, которые и можно взять за новые независимые переменные. Оставшиеся q инвариантов становятся новыми зависимыми переменными. Таким образом, мы считаем М / С подмножеством евклидова пространства УХ У - - Rp - sXR и, следовательно, можем найти явный вид редуцированной системы Д / G, рассматривая и как функции от у. Уже роли независимых и зависимых переменных перестают быть ясными.  [23]

Здесь имеются два приемлемых пути. Самое простое было бы ограничиться подходящими малыми открытыми подмножествами евклидова пространства. Тогда фактормногообразие тоже можно сделать подмножеством некоторого евклидова пространства посредством выбора на нем новых независимых и зависимых переменных. Однако при таком подходе конструкции становятся весьма неприятным образом координатно зависимыми и много теряют в своей изначальной простоте. Более абстрактный подход, принятый нами, состоит в обобщении наших конструкций пространств струй, продолжений и дифференциальных уравнений на произвольные гладкие многообразия. Он осуществляется пополнением обычных пространств струй так, что они включают функции, определенные на произвольных р-мерных подмногообразиях. Эти функции могут быть многозначными или иметь бесконечные производные. Хотя этот метод требует изрядного уровня абстракции и математической изощренности, чтобы дать определения, главные результаты об инвариантных относительно группы решениях сохраняют свой сильный геометрический дух и в том, что касается доказательств, становятся практически тривиальными. Более сложная технически локальная координатная картина непосредственно получается тогда из этой абстрактной переформулировки процедуры редукции.  [24]

Nil и Sol являются унимодулярными группами Ли. Тогда многие из компактных фактормногообразий, описываемых этой теоремой, получаются при факторизации по действию дискретных подгрупп группы G левым ( или правым) умножением.  [25]

ВОРЕЛЯ ПОДГРУППА, борелевская подгруппа - максимальная связная разрешимая ал-гебраич. G, для к-рых фактормногообразие GIH цроективно.  [26]

Перед описанием указанных восьми геометрий заметим, что среди них наиболее интересной, наиболее сложной и наиболее часто встречающейся является гиперболическая геометрия. Другие семь играют роль исключительных геометрий-как в двумерном случае евклидова и сферическая геометрии. В частности, для шести из этих геометрий ( за исключением Sol-геометрии) все замкнутые фактормногообразия являются слоениями Зейферта ( а всякое слоение Зейферта допускает геометрическую структуру ( см. Скотт [4] и гл.  [27]

Первые две геометрии известны довольно хорошо, но я все же потрачу некоторое время на их обсуждение, с тем чтобы выявить сходство между ними. Гиперболическая плоскость известна гораздо хуже и многим представляется чем-то таинственным, поэтому я посвящу большую часть этого параграфа введению в гиперболическую геометрию. Основное, что нас будет интересовать в каждой геометрии, - это дискретные группы изометрий и соответствующие фактормногообразия.  [28]

Другие структуры слоения Зейферта сохраняются не всеми правыми умножениями. Однако умножение в группе S3 справа на комплексные числа, по модулю равные единице, образующие окружность S1, которую мы отождествляем с окружностью 22 0 в S3, сохраняет все эти структуры. Таким образом, всякая конечная, а значит, циклическая подгруппа группы S1 свободно действует на S3, сохраняя все структуры слоения Зейферта, и при этом мы получаем фактормногообразия с бесконечным числом неизоморфных структур расслоений Зейферта.  [29]

В общем случае рассматривается алгебраическое ( регулярное) действие G на произвольном алгебраич. X ( склеенном из аффинных кусков), так что, напр. X ( или подходящего открытого подмножества в X) по действию G сводится к рассмотрению G-инвариантного аффинного покрытия X и применению указанной выше конструкции к каждому элементу этого покрытия с последующей склейкой полученных аффинных фактормногообразий.  [30]



Страницы:      1    2    3    4