Cтраница 1
Аксиома полной индукции не выводима из остальных аксиом арифметики. [1]
Аксиома полной индукции не является примитивной формулой, следовательно, она не может быть и прими тивно истинной. [2]
Если бы аксиома полной индукции была выводима из остальных аксиом, то она была бы слабо регулярной. Покажем, что она не может быть слабо регулярной. [3]
Аксиома III представляет собой аксиому полной индукции. [4]
Эта аксиома 5) - аксиома полной индукции - дает возможность в дальнейшем пользоваться грассманов-скими определениями действий и доказывать общие свойства натуральных чисел. [5]
Однако в аксиоматической арифметике с аксиомой полной индукции можно доказывать уже внутренними средствами теоремы, соответствующие указанным содержательным теоремам об арифметике. [6]
Что касается вопроса о непротиворечивости арифметики с аксиомой полной индукции, то здесь возникают трудности принципиального характера, так что принятых нами средств металогики оказывается недостаточно для решения этой проблемы. Связанные с этим вопросы и в настоящее время занимают существенное место в математической логике. [7]
Эта формула без особого труда доказывается с по-мошью аксиомы полной индукции. [8]
Если из аксиом аксиоматической арифметики мы уда лим аксиому полной индукции, то получим исчисление, которое будем называть ограниченной арифметикой. [9]
В следующем параграфе мы докажем более сильную теорему о независимости аксиомы полной индукции, которая содержит как частный случай теорему о независимости аксиомы полной индукции от остальных аксиом арифметики. Мы все же докажем сперва отдельно теорему о независимости аксиомы полной индукции в арифметике, так как хотя она и слабее той теоремы, которая будет доказана дальше, но зато и доказательство ее значительно проще. [10]
В следующем параграфе мы докажем более сильную теорему о независимости аксиомы полной индукции, которая содержит как частный случай теорему о независимости аксиомы полной индукции от остальных аксиом арифметики. Мы все же докажем сперва отдельно теорему о независимости аксиомы полной индукции в арифметике, так как хотя она и слабее той теоремы, которая будет доказана дальше, но зато и доказательство ее значительно проще. [11]
Отметим разницу между металогическими теоремами об ограниченной арифметике, в которых устанавливаются свойства рекурсивных функций, и соответствующими теоремами самой арифметики с аксиомой полной индукции. [12]
В следующем параграфе мы докажем более сильную теорему о независимости аксиомы полной индукции, которая содержит как частный случай теорему о независимости аксиомы полной индукции от остальных аксиом арифметики. Мы все же докажем сперва отдельно теорему о независимости аксиомы полной индукции в арифметике, так как хотя она и слабее той теоремы, которая будет доказана дальше, но зато и доказательство ее значительно проще. [13]
Этот множитель уже никак не может быть тождественно истинной формулой. Следовательно, формула ( 4), а значит, и формула ( 3) не могут быть примитивно истинными в слабом смысле. Но тогда в силу теоремы 2 § 9 аксиома полной индукции не выводима из остальных аксиом арифмети ки, что и требовалось доказать. [14]
Понятие натуральных чисел не появляется у нас как чистое понятие. С самого начала оно выступает в облачении свойств, которые я могу выявить простым рассмотрением. Я сейчас покажу вам, что к этим свойствам относятся и те, которые вы описываете при помощи аксиом Пеано. Две первые аксиомы ( 1 есть jV и если х есть N, то и следующее за х есть jV) могут быть непосредственно усмотрены при выполнении производящего построения. Что же касается так называемой аксиомы полной индукции, то ее нужно рассматривать как основную теорему о натуральных числах. Сделаем некоторые предварительные замечания, которые окажутся полезными при доказательстве этой теоремы. [15]