Cтраница 1
Аксиомы векторного пространства мы предполагаем известными. [1]
Присоединение к системе аксиом векторного пространства дополнительных аксиом, связанных с точкам и, обращает его в аффинное пространство; дополнение же системы аксиом аксиомами скалярного умножения векторов, сопоставляющего каждым двум векторам а и 6 число ab е R, причем аЪ - Ьа а ( Ь с) - ab ас; ( аа) 6 а ( аЬ); а2 а-а 0 при а Ф 0; здесь а, Ь, с М, а е R, обращает аффинное пространство в евклидово пространство. [2]
Непосредственно проверяется, что все аксиомы векторного пространства ( см. гл. [3]
Подмножество элементов векторного пространства, которое удовлетворяет аксиомам векторного пространства, называется подпространством. [4]
Проверить, что операции введены корректно и множество X / L удовлетворяет аксиомам векторного пространства. [5]
Несложно проверяется, что эти векторы и определенные над ними операции удовлетворяют всем аксиомам векторного пространства. Это векторное пространство называется п-мерным арифметическим векторным пространством. [6]
В множестве Рг естественным образом определяются операции сложения и умножения полиномов на вещественные числа, удовлетворяющие аксиомам векторного пространства. При этом нулевым элементом является нулевой полином, все коэффициенты которого равны нулю. Полином р Рг, удовлетворяющий неравенству р О, называется неотрицательным, а удовлетворяющий неравенству р О, - положительным. [7]
Алгебра называется линейной, если она является множеством с одной внутренней и одной внешней операциями, удовлетворяющими аксиомам векторного пространства. [8]
Аксиомы же второй группы, напротив, естественным способом связаны со свойствами подобия в элементарной геометрии. Первым геометрически важным нетривиальным следствием аксиом векторного пространства является понятие объема. [9]
К - аддитивная абелева группа. К в некоторый элемент из / С; это умножение удовлетворяет аксиомам векторного пространства, потому что является сужением на К X R внешнего умножения в векторном пространстве Ж, определенного в Л X С. [10]
Векторное подпространство само является векторным пространством. Рассматриваемые в дальнейшем в качестве примеров векторные пространства обычно заданы как подмножества пространства всех функций на каком-нибудь. Поэтому для проверки аксиом векторного пространства достаточно проверить замкнутость этих множеств относительно алгебраических операций. [11]