Cтраница 2
А ведь аксиома выбора требует даже большего: без нее саму мощность континуума нельзя поместить на алефическую шкалу. [16]
Но если аксиома выбора неотделима от понятия натурального числа, от арифметики натуральных чисел и от построенного с их помощью континуума, то изменение подхода к ней неизбежно повлечет какую-то существенную перестройку всей математики, ибо без натурального числа, без арифметики, без континуума практически невозможна какая-либо математическая теория. [17]
Теорема 3.4. Аксиома выбора АС эквивалентна утверждению: каждое множество имеет мощность. [18]
Теорема 8.11. Классическая аксиома выбора К-конструктивно неопровержима. [19]
Помимо эквивалентов аксиомы выбора, имеется обширный класс математических предложений, которые неизвестно как доказывать без обращения к этой аксиоме или одному из ее эквивалентов. Большинство из них не носит столь общего характера, как рассматриваемая аксиома или ее эквиваленты, а представляет собой относительно частные высказывания; их обычно рассматривают не только как недоказанные без обращения к ним, но и как недоказуемые без них. В предположении такой недоказуемости естествен вопрос о том, какому частному случаю аксиомы выбора ( или ее эквивалента) равносильно то или иное предложение подобного рода. [20]
Обычное применение аксиомы выбора в теории графов состоит в установлении того, что данный граф G имеет максимальные части с определенными свойствами. [21]
При наличии аксиомы выбора такая процедура может быть реализована и в бесконечномерном случае. Получаемые таким образом базисы называются базисами Гамеля. [22]
Выявляются применения аксиомы выбора или ее эквивалентов в рассуждениях Кантора, содержащихся в его первых работах по теории множеств. [23]
С помощью аксиомы выбора легко доказывается, что каждая система F подмножеств произвольного множества / может быть пополнена до ультрафильтра над /, если пересечение любого конечного числа множеств из F непустое. [24]
В отсутствии аксиомы выбора обобщенная К. [25]
Мы использовали аксиому выбора ( эквивалентную теореме о полном упорядочении) уже тогда, когда молчаливо предполагали существование стратегий. [26]
Сказанное об аксиоме выбора, а тем самым и о ее эквивалентах и зависящих от них предложениях математики не означает умаления ее роли, а тем более признания ее ненужности, ее отрицания. Само собой разумеется, что изучение природы движения должно было исходить от низших, простейших форм его и должно было научиться понимать их прежде, чем могло дать что-нибудь для объяснения высших и более сложных форм его. [27]
Кантора к аксиоме выбора в последнем пункте, здесь же предложил свое доказательство этого факта, которое, как он полагал, не нуждается в аксиоме Цермело. Можно усомниться в успехе предприятия Серпинского, так как в своем рассуждении он пользовался допущениями, нецермеловость которых не была им предварительно установлена. [28]
Итак, кроме аксиомы выбора существуют и другие утверждения о свойствах множеств, которые можно сформулировать в рамках языка ZF, но невозможно ни доказать их, ни опровергнуть в ZF. На самом деле, в силу теоремы Геделя о неполноте [4] таких утверждений можно найти бесконечно много. В § 3.5 мы рассмотрим еще несколько подобных утверждений. [29]
Тарского и используется аксиома выбора. [30]