Cтраница 3
Проективная плоскость рассматривается как совокупность элементов двух родов: точек и прямых, между к-рыми устанавливаются отношения инцидентности и порядка, характеризуемые соответствующими аксиомами. Эта ( первая) группа аксиом отличается от соответствующей группы аксиом евклидовой геометрии тем, что каждые две прямые на плоскости имеют общую точку и что на прямой имеется, по крайней мере, три различные точки. В качестве основного отношения порядка принимается раздоленность двух пар точек, лежащих на одной прямой, или двух пар прямых, проходящих через одну точку ( рис. 2), описываемая второй группой аксиом. Иногда к этим аксиомам добавляются непрерывности аксиомы. [31]
Если принять аксиому, существено отличающуюся от аксиомы Евклида о параллельных, то можно было бы прийти к какой-нибудь теореме, которая противоречила бы другой теореме. Такое противоречие означало бы, что аксиома, отрицающая аксиому Евклида о параллельных - единственную сомнительную аксиому евклидовой геометрии - ложна. [32]
Существует ли, например, такая явная система постулатов о свойствах целых чисел ( вроде аксиом евклидовой геометрии), из которой чисто логически можно вывести все истинные теоремы о них. [33]
Постановка этой проблемы объясняется не только интересом Гильберта к вопросам преподавания элементарной геометрии. Напомним, что доклад Математические проблемы был сделан через год после выхода книги Основания геометрии [32], в которой Гильберт изложил свою широко известную систему аксиом евклидовой геометрии. Очевидно, Гильберт предвидел, что поставленный вопрос имеет значение не только в узкой области методики преподавания объемов, но и далеко выходит за эти рамки и может привести к созданию математически интересной и богатой результатами теории равносоставленности многогранников. [34]
Построение заключалось в том, что мы указали систему объектов, условно назвав их точками и прямыми, и систему отношений между ними, для которых выполняются все утверждения, содержащиеся в аксиомах евклидовой геометрии. Вывод, что эти утверждения действительно верны, мы сделали на основании соответствующих теорем, относящихся к теории вещественных чисел. А так как эти теоремы в конечном счете выводятся из аксиом арифметики, то мы можем гарантировать построение декартовой реализации только при условии непротиворечивости системы аксиом арифметики. Таким образом, мы получаем решение вопроса о непротиворечивости системы аксиом евклидовой геометрии в следующей форме. [35]
Как отмечалось в разделе 1, в механике жидкости принимают, что все события разворачиваются в пространстве S, в котором можно оперировать представлениями о точке, прямой, плоскости и векторе. Эти представления получены из обобщения непосредственного опыта человека в условиях Земли. Считается, что перечисленные геометрические объекты удовлетворяют аксиомам евклидовой геометрии. [36]
В этом пространстве существует декартова реализация аксиом евклидовой геометрии, в которой плоскость определяется как множество точек, удовлетворяющих линейному уравнению, а прямая - как множество точек, удовлетворяющих совместной системе двух линейно независимых уравнений. Понятия принадлежности, отношения порядка для точек на прямой, понятие движения для пространства R3, прямых и плоскостей вводятся естественно. При таком конкретном понимании точек, прямых и плоскостей и отношений между ними устанавливается каждая из аксиом евклидовой геометрии. [37]
В геометрии Римана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных. Таким образом, система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и части остальных аксиом. [38]
На страницах математических журналов наш коллекционер, возможно, встретит и упоминание о теореме Банаха - Тарского, утверждающей, что шар можно разделить на несколько частей, из которых затем сложить другой шар большего радиуса, чем первый. Теорема Банаха - Тарского до сих пор не нашла ни одного применения и, быть может, не найдет их никогда... И хотя у любого физика она вызывает протест, ее можно доказать с помощью логических рассуждений, исходя из аксиом евклидовой геометрии, причем рассуждения эти ничем не будут отличаться от рассуждений, неоднократно использованных другими математиками. [39]
Поскольку причину того или иного явления удается установить не всегда ( например, мы не знаем, как образовались кометы), а механицизм также не всегда может объяснить разнообразные явления, в XIX в. Различие между учением о причинности и детерминизмом отмечал еще Декарт: следствие отстает во времени от причины из-за ограниченности чувственных восприятий человека. Если аксиомы евклидовой геометрии заданы, то свойства окружности ( например, ее длина и площадь ограниченного ею круга) и вписанных углов полностью определены как необходимые логические следствия. Говорят, что Ньютон как-то спросил, зачем нужно выписывать теоремы евклидовой геометрии, если они очевидным образом следуют из аксиом. И все же большинству людей требуется немало времени, чтобы доказать каждую из теорем. Но хронологический порядок открытия новых геометрических свойств, который, казалось бы, связывает аксиомы и теоремы такой же временной последовательностью, как причину и следствие, в действительности иллюзорен. [40]
В той же лекции Риман сделал немало важных замечаний. Остается еще выяснить, обеспечиваются ли опытной проверкой эти простые соотношения [ которыми определяется метрика пространства ] и если обеспечиваются, то в какой степени и в каком объеме. Например, он считал, что аксиомы евклидовой геометрии лишь приближенно истинны применительно к физическому пространству. [41]
Определения пространства, времени и движущейся материи в классической механике, основанной на законах Ньютона, формально не связаны друг с другом и являются лишь первыми приближениями к объективно реальным формам существования материи. Основные определения и аксиомы геометрии Евклида описывают достаточно точно свойства пространства, в котором происходят наблюдаемые нами движения материальных тел. Опыты, проведенные по изучению геометрических свойств пространства на Земле, показали высокую точность аксиом евклидовой геометрии. Метрические свойства евклидова пространства не зависят от наполняющей и движущейся в этом пространстве материи; пространство считается однородным и изотропным во всех направлениях. [42]
Построение заключалось в том, что мы указали систему объектов, условно назвав их точками и прямыми, и систему отношений между ними, для которых выполняются все утверждения, содержащиеся в аксиомах евклидовой геометрии. Вывод, что эти утверждения действительно верны, мы сделали на основании соответствующих теорем, относящихся к теории вещественных чисел. А так как эти теоремы в конечном счете выводятся из аксиом арифметики, то мы можем гарантировать построение декартовой реализации только при условии непротиворечивости системы аксиом арифметики. Таким образом, мы получаем решение вопроса о непротиворечивости системы аксиом евклидовой геометрии в следующей форме. [43]
Почему открытие неевклидовых геометрий, и поныне неизвестных даже образованным людям, если только они не математики, следует считать решающим в истории науки. Стоит ли придавать значение открытиям, сущность которых можно с трудом объяснить ничтожной доле процента всех образованных людей. Элементарная геометрия, кодифицированная Евклидом, привычна. Ее можно преподавать в обычных школах, и значительная часть молодежи ее усваивает. Она позволяет точно описывать свойства твердых тел и объяснять простейшие оптические явления. Интуитивные основы сочинения Евклида почерпнуты либо из опыта многих поколений, либо из накопленных в течение жизни знаний о поведении твердых тел. Аксиомы евклидовой геометрии - это не что иное, как более строгая формулировка сведений о пространстве, добытых на глаз и на ощупь. Этим и объясняется, почему неевклидовы геометрии долгое время пользовались репутацией диковинных существ, придуманных учеными специально для того, чтобы усложнить и затемнить простые и ясные вещи. [44]
Отцовский запрет лишь еще больше подстегнул самолюбие молодого офицера, решившего любой ценой проникнуть в тайны параллельных. Когда Янош в 1825 г. приехал к отцу в Марош-Вашаргей, абсолютная геометрия ( как назвал ее Янош Бойяи) уже была открыта. Во-первых, отец никак не мог понять, что существует бесконечно много различных геометрий, удовлетворяющих всем аксиомам евклидовой геометрии, кроме XI постулата, и что вопрос о том, истинен или ложен этот постулат, не имеет смысла, поскольку. Когда в 1830 г. Яноша перевели из гарнизона в Темеш-варе во Львов, он решил воспользоваться посредничеством отца и отправить работу на отзыв Гауссу, но рукопись пропала. [45]