Аксиома - дедекинд - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
И волки сыты, и овцы целы, и пастуху вечная память. Законы Мерфи (еще...)

Аксиома - дедекинд

Cтраница 1


Аксиома Дедекинда дана здесь в проективной форме. Нетрудно формулировать ее применительно к евклидовой прямой.  [1]

Согласно аксиоме Дедекинда существует точка С, производящая деление на классы.  [2]

Аксиома IV известна как аксиома Дедекинда.  [3]

Аксиома непрерывности выполняется в силу аксиомы Дедекинда для вещественных чисел.  [4]

Аксиома непрерывности, известная под названием аксиомы Дедекинда, формулируется так: если точки прямой разделены на два класса, то существуют пограничные точки, производящие это разделение и принадлежащие к одному из классов.  [5]

Разбиение точек бтрезка на два класса в соответствии с аксиомой Дедекинда приводит к образованию пограничных точек, одна из которых, обозначенная буквой М, изображена на рис. 88, а. Когда точка А перейдет в положение В, соответственная точка А перейдет в положение В, а так как движение происходи в одщш направлении ( слева направо) то должен произойти обгон. Момент обгона обозначает, что после этого точка оказывается правее своей соответственной, а в момент обгона совпадает с ней. Отсюда ясно, что пограничная точка является двойной. В процессе упорядоченного движения в одном направлении обгоны и отставания могут происходить несколько раз, поэтому существует самый первый ( при движении слева направо - самый. Она не может находиться внутри отрезка А А или совпасть с его концевыми точками А и А, так как в этом случае нарушилась бы упорядоченность прямого типа.  [6]

Для отношения между выполнены все аксиомы Hi - П4 второй группы аксиом Гильберта и аксиома IV Дедекинда.  [7]

Согласно Дедекинду ( Непрерывность и иррациональные числа, 1872), мы не имеем никакого основания-принять за вещественные числа только часть этих сечений. Поэтому мы постулируем в геометрии как аксиому ( аксиома Дедекинда) существование таких отрезков, которые находятся к некоторому принятому за единицу отрезку в арифметически определенном посредством сечения отношении. В этой логической полноте, системы находит свое отражение данная в созерцании сплошность ( Luckenlosigkeit) точек пространства. Благодаря введению дедекиндова понятия числа анализ становится независимым от геометрии, только теперь он оказывается пригодчым для изучения непрерывности и предоставляет геометрии средства для доказательства опирающихся на принцип непрерывности теорем, вроде, например, следующей: непрерывная линия, соединяющая какую-либо точку, расположенную внутри круга, с точкой, расположенной вне его, пересекает окружность. На то обстоятельство, что такого рода теоремы лишены у Эвклида надлежащего обоснования, обратил внимание еще Лейбниц в связи с первым, же встречающимся у Эвклида построением равностороннего треугольника ABC по точкам А и В. При этом построении из точки Л, как из центра, описывается окружность, проходящая через точку В, а из точки В - окружность, проходящая через точку А; однако у Эвклида не доказывается, что эти окружности имеют общую точку С.  [8]

Подобным же образом принцип непрерывности может быть посредством проектирования перенесен на пучок плоскостей. Поэтому в качестве аксиомы непрерывности для построения проективного - пространства было бы достаточно принять формулированную выше аксиому Дедекинда.  [9]

Покажем, что каждая точка X первого класса предшествует каждой точке Y второго класса. Действительно, если точка X принадлежит к первому классу, то всякая точка У, предшествующая X, тоже принадлежит к первому классу. Отсюда следует, что каждая точка первого класса предшествует каждой точке второго класса. Таким образом, наше разбиение точек прямой АВ на два класса удовлетворяет условиям аксиомы Дедекинда.  [10]

Второе методологическое достоинство аксиоматики Гильберта состоит в ее независимости от каких-либо других математических теорий. Она в принципе независима даже от теории множеств. Действительно, по Гильберту, скажем, прямая отнюдь не является множеством точек, а отношение принадлежности не является теоретико-множественным отношением принадлежности элемента к множеству. Однако эта независимость от теории множеств на самом деле эфемерна. Уже полупрямая вводится по Гильберту по существу как множество точек. Еще хуже дело обстоит с аксиомой непрерывности Дедекинда, в которой понятие множества ( класса) играет основную роль. Правда, у самого Гильберта аксиомы Дедекинда нет: ее заменяет некая аксиома полноты, формально от теории множеств независимая.  [11]



Страницы:      1