Cтраница 1
Математические аксиомы представляют собой выражения крайне скудного умственного содержания, которое математике приходится заимствовать у логики. [1]
Мы выдвигаем несколько математических аксиом, которые по существу являются переформулировкой - хорошо известных биологических принципов. Опираясь на них, мы получим с помощью как математических, так и биологических доводов ряд фундаментальных биоматематических результатов. Последние порождают математическую структуру, которая, судя по всему, охватывает общую теорию биологической формы и функции. [2]
Доказать теорему означает, пользуясь логическими и математическими аксиомами, построить цепочку логических выводов так, чтобы последнее звено совпадало с утверждением теоремы. Если построить такую цепочку удается, то говорят, что теорема полностью доказана. Лишь очень небольшое число математических теорем обладает полными доказательствами. Обычно построение цепочки - занятие настолько канительное, что авторы любого, даже самого подробного трактата по основаниям математики ( такого, как, например, Основания математики Расселла и Уайтхеда) оставляют на долю читателя множество логических шагов, а сами предпочитают передвигаться скачками, - перепрыгивая через отдельные части доказательства. Математики тщательно следят за тем, чтобы восстановление пропущенных шагов в: доказательстве не требовало от читателя особых усилий. В противном случае говорят, что в доказательстве имеются пробелы и теорема не считается полностью доказанной. [3]
Если, например, у нас математические аксиомы представляются каждому восьмилетнему ребенку чем-то само собой разумеющимся, не нуждающимся ни в каком опытном доказательстве, то это является лишь результатом накопленной наследственности. [4]
Математика позволяет превратить этический постулат в математическую аксиому, говорить о полноте и непротиворечивости системы принципов справедливости. [5]
Подобно тому как г-н Дюринг воображает, что из математических аксиом, которые и с чисто логической точки зрения не допускают обоснования, да и не нуждаются в нем, можно без всякой примеси опыта вывести всю чистую математику, а затем применить ее к миру, - точно так же он воображает, что он в состоянии сначала создать из головы основные формы бытия, простые элементы всякого знания, аксиомы философии, из них вывести всю философию, или мировую схематику, и затем высочайше октроировать эту свою конституцию природе и человечеству. К сожалению, природа вовсе не состоит из мантей-фелевских пруссаков 1850 г. 38, а человечество состоит из них лишь в самой ничтожной части. [6]
& - непротиворечивая формализованная теория с не более чем счетным множеством М - математических аксиом. Если формула ос неопровержима в 3 -, то существует такая счетная семантическая модель К для & -, что а, выполнима в К. [7]
& & - - непротиворечивая формализованная теория с не более чем счетным множеством М математических аксиом. [8]
Наконец, в поисках новых аргументов адепты двойной записи объявили ее законом природы наравне с законом всемирного тяготения и математическими аксиомами, чем поставили своих научных оппонентов вообще за грань науки и критики: очевидно, что научные диспуты могут вестись на определенном уровне согласия и взаимоуважения, но как прикажете относиться к человеку, не удосужившемуся выучить грамоту, но утверждающему, что им изобретен вечный двигатель. [9]
Пусть 3 - &, ff, j & - непротиворечивая формализованная теория с не более чем счетным множеством si - математических аксиом. [10]
У О элементов и системы отношений в У и функций в / со значениями из /, которые обладают свойствами, выражаемыми математическими аксиомами рассматриваемой теории. [11]
Так как то, о чем мне предстоит говорить, я намерен изложить на началах математических и философских, то считаю уместным предпослать несколько философских и математических аксиом, на которые мне придется часто ссылаться, оставляя до соответствующих мест те, которые придется вводить при том или другом случае. [12]
Итак, мы вшдим, что предмет математики определяется лишь методом и что каждая дедуктивная теория может считаться математикой, однако это определение математики - не более чем рама, заполняемая лишь после введения математических аксиом, а они ( в известной мере) произвольны. [13]
Формальная система может содержать как математические, так и логические знаки ( различие между которыми условно), и математические и логические аксиомы; ее существенной чертой как формальной системы является то, что ее операции не предполагают никакого знания смысла знаков этой системы, кроме того, который дан аксиомами и правилами преобразований, Математические аксиомы не являются больше самоочевидными истинами, - они суть произвольные начальные позиции в некоторой игре, а логические аксиомы выражают не законы мышления, а произвольные соглашения об использовании логических знаков. [14]
Современное естествознание признает наследственность приобретенных свойств и этим расширяет субъект опыта, распространяя его с индивида на род: теперь уже не считается необходимым, чтобы каждый отдельный индивид лично испытал все на своем опыте; его индивидуальный опыт может быть до известной степени заменен результатами опыта ряда его предков. Если, например, у нас математические аксиомы представляются каждому восьмилетнему ребенку чем-то само собой разумеющимся, не нуждающимся ни в каком опытном доказательстве, то это является лишь результатом накопленной наследственности. [15]