Cтраница 1
Названная аксиома является одним из наиболее активно обсуждавшихся и обсуждающихся в XX в. Сотни специальных статей, а также книги Рабиных [1] и Йеха [1 ] полностью посвящены изучению ее или эквивалентных ей предложений; изложение взглядов ряда ученых на нее занимает большую часть книги Гонсета [1 ]; она анализируется в больших разделах книг, посвященных теории множеств, например в книгах Френкеля и Бар-Хиллела [ 1, с. Во многих тысячах математических работ с помощью этой аксиомы или равнозначных ей утверждений получаются те или иные результаты с прямым указанием на обращение к таким утверждениям; в неизмеримо большем числе исследований нет прямых ссылок на подобные применения, но они присутствуют в них неявно, нередко как неосознаваемые допущения. [1]
Рассмотренная в предыдущем разделе теорема Кантора, помимо самого факта обращения к аксиоме выбора в ее доказательстве, а тем самым и в применениях этой теоремы в математическом анализе, связана также с одним интересным моментом истории названной аксиомы. [2]
Моргенштерна, которым должны удовлетворять рассматриваемые предпочтения лица, принимающего решения, этим предпочтениям можно поставить в соответствие некоторые количественные оценки, которые сохраняют порядок предпочтения и позволяют производить их сравнительный анализ путем сопоставления значений функции рисковой полезности. Впоследствии названные аксиомы были сформулированы применительно к анализу поведения лица, принимающего решение, в условиях риска в предположении, что его выбор производится в условиях простых лотерей. Были предложены разные варианты таких аксиом. Шумейкера более поздний вариант этих аксиом выглядит следующим образом. [3]
Насколько нам известно, вопрос о роли названной аксиомы и ее эквивалентов в ранних теоретико-множественных работах Кантора не рассматривался. [4]
На то, что в этом рассуждении Кантора применяется аксиома выбора, обратил внимание Пеано в 1908 г. [ 8, с. Он, однако, констатировал просто факт применения названной аксиомы, не раскрыв ни характера версии, ни того, в каком месте рассуждения она используется. [5]
В последующем он, кажется, не пытался доказать названную аксиому 22, но соображение о том, что она идет в область трансфинитного дальше, чем закон исключенного третьего, он сохранил. [6]
Как известно, доказательство того, что из определения непрерывности на языке г - § следует последовательностная непрерывность, не нуждается в аксиоме выбора. Обратное же заключение, как уже отмечалось, получается лишь с помощью названной аксиомы. И Гейне, доказывая, что из последовательностного определения следует окрестностное, фактически прибегал к ней. Действительно он рассуждал следующим образом. [7]
Отметим, что Основы математического анализа Фихтенгольца были написаны тогда, когда в значительной мере еще не были преодолены предубеждения против аксиомы выбора, вызванные нападками на нее со стороны Бореля, Гобсона, Пеано, Лузина и других. Это сказалось хотя бы в том, что слова аксиома выбора или равнозначные им в книге отсутствуют. Это проявилось и в отдельных попытках как-то замаскировать обращение к названной аксиоме, порой даже опустить нужные по ходу дела рассуждения. Тем не менее можно утверждать, что подавляющее большинство содержащихся здесь умозаключений тесно связано с нею, правда, преимущественно опосредствованно. [8]
Но ограничения, накладываемые указанием временного промежутка, представляют собой лишь небольшую часть тех отвлечений, которые приходится делать при историческом анализе любого действительно важного явления. Всякое большое историко-научное событие - таким мы считаем явное введение аксиомы произвольного выбора в 1904 г. - миллионами нитей связано с очень большим числом других научных событий. Частично они нашли выражение в той полемике по поводу названной аксиомы, которая возникла непосредственно после опубликования ее формулировки и сознательного ее применения в доказательстве одной из основных теорем теории множеств - теоремы о возможности вполне упорядочить всякое множество. После ознакомления ученых с работой Цермело [2] начался сначала кулуарный, а затем выплеснувшийся на страницы периодических изданий спор между сторонниками и противниками аксиомы выбора, отчасти продолжающийся и в настоящее время. [9]
Отсюда видно, что Коши определенно понимал неоднозначность построения последовательности ( 6), проистекающую из произвола в выборе вспомогательных функций. Кассине и Гюйемо [ 1, с. Так что они видят применение названной аксиомы именно в произволе выбора вспомогательных функций. [10]