Cтраница 2
Сравнение с аксиоматикой Колмогорова. В этой широко известной аксиоматике теории вероятностей в качестве теоретического двойника случайной величины выбирается измеримая функция Х ( ш), заданная на абстрактном вероятностном пространстве Q. Мизесовский подход, скорее всего, не может быть полностью уложен в рамки аксиоматики Колмогорова, так как точку со практически невозможно отождествить с номером s испытания, если s пробегает счетное множество значений. Невозможность обусловлена свойствами понятия меры. [16]
Утверждения Ль Ла, Л3, А, Р2, Р3 и составляют систему аксиом теории вероятностей. В таком виде аксиоматика теории вероятностей была сформулирована А. Н. Колмогоровым и оказалась исключительно плодотворной для развития теории вероятностей и целого ряда ее новых разделов, в первую очередь теории случайных процессов. [17]
При математизировании любой подобной области трудность может быть обойдена путем создания аксиоматики, но тогда остается проблема интерпретации. Ты знаешь, что кроме одного, по-моему хорошего, параграфа в Grundbegriffe я ничего не напечатал относительно связи аксиоматики теории вероятностей с реальным смыслом понятия вероятность, хотя и мог бы сделать это получше многих, и в докладах в Математическом обществе говорил на эту тему очень много. [18]
Положение самостоятельной математической дисциплины теория вероятностей достигает лишь в трудах выдающегося русского математика середины XIX в. А в результате последующих фундаментальных исследований советских математиков А. Я. Хинчина, А. Н. Колмогорова, Е. Е. Слуцкого и С. Н. Бернштейна теория вероятностей, по существу, приобрела тот вид, какой она имеет на сегодняшний день. В частности, аксиоматика теории вероятностей, построенная академиком Колмогоровым, в настоящее время считается общепринятой. [19]
В некоторой степени именно ему следует приписать инициативу пересмотра основ этой науки с позиции теории меры и теории функций действительного переменного. Как известно, именно на этом пути А. Н. Колмогоров разработал аксиоматику теории вероятностей и теоретико-множественную интерпретацию всех основных ее понятий, принесших с собой предпосылки ее исключительного прогресса. С именем Бореля связаны первая формулировка усиленного закона больших чисел и теоретиковероятностные постановки задач теории чисел. Но, быть может, не столько конкретные теоремы, найденные и доказанные Борелем, представляют особое значение для теории вероятностей, сколько стимулирование им новых подходов и выдвижение им новых продуктивных идей. [20]
Нужно понимать, что первоклассные ученые, создавшие эту аксиоматику, в свое время тщательно продумали, вероятно, все возможные варианты. Попытки изменения будут, следовательно, беспочвенными, если исходить из тех же знаний ( имеются в виду прежде всего представления о строении континуума), которыми располагали создатели аксиоматики. Наоборот, при изменении представлений о природе континуума ( если бы, например, была построена состоятельная физико-математическая теория дискретного пространства), возможно, уместно было бы поставить вопрос о новой аксиоматике теории вероятностей. [21]
Мало кому известно, что аксиоматика теории вероятностей входила в знаменитый список проблем Гильберта. [22]
Книга предназначена для первоначального изучения теории случайных процессов на строгой математической основе. Предполагается, что читатель знаком с общим курсом теории вероятностей. Необходимые сведения из теории меры приведены без доказательств. В книге рассмотрены общие положения теории, включая аксиоматику теории вероятностей и основные классы случайных процессов. Первая глава посвящена более элементарному изложению теории. Книга рассчитана на студентов и аспирантов университетов, а также на специалистов-нематем г н-ков, желающих ознакомиться с основными математическими методами теории случайных процессов. [23]
Андрей Николаевич сумел использовать для аксиоматизации теории вероятности уже готовый мощный инструмент - так называемую теорию меры. Идея такого использования принадлежит не ему. Но мы уже знаем А.Н. Колмогорова именно как специалиста по трудным проблемам. Первый вариант его аксиоматики теории вероятностей был опубликован в 1929 году ( Общая теория меры и исчисление вероятностей), окончательный результат появился в 1933 году в виде уже упоминавшейся классической монографии. [24]
Бернштейна относятся к различным разделам математики: теории дифференциальных уравнений, теории функций, теории вероятностей и математической статистике. Созданные им методы оказали огромное влияние на развитие математики в 20 - м столетии и давно признаны классическими. В 1903 г. за решение 19 - й проблемы Гильберта С. Н. Бернштейн получил степень доктора наук Парижского университета. Эта работа посвящена решению 19 - й и 20 - й проблем Гильберта. Докторская диссертация С. Н. Берн-штейна, защищенная им в 1913 г. в Харьковском университете, посвящена вопросу первостепенной важности - приближению функций полиномами. Фундаментальные вопросы, которыми теория вероятностей обязана С. Н. Бернштейну, относятся к разным направлениям: аксиоматика теории вероятностей, обоснование нормальной корреляции с помощью предельных теорем, развития теории корреляции, распространения центральной предельной теоремы на суммы стохастически зависимых величин, стохастические дифференциальные уравнения. В 1923 г. С. Н. Бернштейн прочел курс лекций в Сорбонне, посвященный экстремальным свойствам и наилучшему приближению аналитических функций. Этот курс был опубликован в 1926 г. в виде монографии в коллекции Бореля и заслужил премию Парижской академии наук. В 1925 г. С. Н. Бернштейн был избран членом-корреспондентом АН СССР и академиком АН УССР, а с 1929 г. - академиком АН СССР. [25]