Cтраница 1
Аксиоматика Гильберта обладает также рядом принципиальных достоинств. [1]
Особенностью аксиоматики Гильберта является также специальная роль, которую в ней играет аксиома параллельности V. [2]
Популярность аксиоматики Гильберта объясняется не только тем, что она была первой, получившей широкое признание аксиоматикой геометрии, но и ее близостью к традиционной школьной геометрии. [3]
В аксиоматике Гильберта аффинный характер имеют все аксиомы, за исключением аксиом конгруэнтности III. Однако из этих аксиом не вытекает существование параллельных прямых. [4]
В аксиоматике Гильберта термины конгруэнтность и равенство яз-ляются синонимами. [5]
В аксиоматике Гильберта термины конгруэнтность и равенство являются синонимами. [6]
Второе методологическое достоинство аксиоматики Гильберта состоит в ее независимости от каких-либо других математических теорий. Она в принципе независима даже от теории множеств. Действительно, по Гильберту, скажем, прямая отнюдь не является множеством точек, а отношение принадлежности не является теоретико-множественным отношением принадлежности элемента к множеству. Однако эта независимость от теории множеств на самом деле эфемерна. Уже полупрямая вводится по Гильберту по существу как множество точек. Еще хуже дело обстоит с аксиомой непрерывности Дедекинда, в которой понятие множества ( класса) играет основную роль. Правда, у самого Гильберта аксиомы Дедекинда нет: ее заменяет некая аксиома полноты, формально от теории множеств независимая. [7]
Можно считать, что в аксиоматике Гильберта неудачен и выбор в качестве одного из основных отношений отношения между. [8]
Во-первых, можно показать, что аксиоматика Гильберта минимальна: из нее не только нельзя удалить ни одной аксиомы, но и нельзя даже ослабить их формулировки. [9]
Представляет интерес и приложение, содержащее аксиоматику Гильберта, обоснование метода координат и дающее представление о неевклидовой геометрии. [10]
Представляет интерес и приложение, содержащее аксиоматику Гильберта, обоснование метода координат и дающее представление о неевклидовой геометрии. [11]
Как мы знаем, если в рамках аксиоматики Гильберта назвать вектором направленный отрезок, а сумму векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определить так, как это было сделано выше, то все аксиомы Вейля окажутся теоремами - мы их доказали. Оказывается, что верно и обратное: если, исходя из аксиом Вейля, определить прямые, плоскости и другие основные понятия системы аксиом Гильберта, то все аксиомы Гильберта станут теоремами - их можно будет доказать. Таким образом, системы аксиом Гильберта и Вейля эквивалентны. [12]
В современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиоматикой Гильберта. Часто берут эквивалентную систему аксиом. Так, приведенная в следующей главе система аксиом отличается от системы Гильберта во второй и третьей группе. Преимущество ее заключается в том, что она позволяет проще и быстрее получить первоначальные геометрические факты, облегчающие изложение. Кроме того, она, как нам кажется, лучше описывает свойства основных геометрических объектов с точки зрения привычных представлений. [13]
Как бы то ни было, в духе современных теоретико-множественных концепций, придавать большое значение этой особенности аксиоматики Гильберта не стоит. Более того, переходя на теоретико-множественную точку зрения, целесообразно видоизменить эту аксиоматику и считать прямую множеством принадлежащих ей точек. При таком видоизменении понятия прямой, мы, конечно, несколько сузим класс возможных интерпретаций: те интерпретации, в которых принадлежность не является теоретико-множественной, будут уже невозможны. [14]
Ступив раз на теоретико-множественный путь, мы можем пойти и дальше, убрав из списка основных отношений также и отношение коллинеарности и заменив его новым основным объектом - движением. В рамках аксиоматики Гильберта движения определяются как ( биективные) преобразования множества точек, переводящие конгруэнтные отрезки в конгруэнтные. [15]