Cтраница 1
За геометрическую аксиоматику в школе говорит тот факт, что освобождение от онтологических связей не может быть полностью изучено при абстрагирующей аксиоматизации. [1]
Собственная цель геометрической аксиоматики - освобождение от онтологических связей - заведомо не достигается в этих опытах, ибо система аксиом вводится в готовом виде. Школьнику дают понять, что он может забыть все, что знал раньше или доказывал о точках и прямых. Он должен отныне ограничиться высказываниями, сформулированными в аксиомах, и лишь в рамках этих аксиом действовать в дальнейшем. В истории математики подобные веяния были, пожалуй, мотивированы. Современная геометрическая аксиоматика появилась после успехов неевклидовой геометрии, после сомнений в истинности евклидовой геометрии; аксиоматика действительных чисел была вызвана к жизни парадоксами понятия предела - подобных примеров можно привести немало. [2]
Все вышеприведенные примеры геометрической аксиоматики чересчур сложны для школьного преподавания. Сложность существующих систем геометрических аксиом еще до их глубокого дидактического исследования является аргументом против требования изучать в школе аксиоматику геометрии. Но этот аргумент недостаточен. Можно представить себе, что некто предложит простую систему аксиом, специально разработанную для целей обучения. [3]
Наконец, в разделе Теоретике-групповая геометрическая аксиоматика автор пишет, что, по его мнению, теоретико-групповая аксиоматика геометрии должна развиваться не в гильбертовом направлении, а в рамках идей Гельмгольца. Указываются различные варианты такой аксиоматики. [4]
Почему нужно так держаться за геометрическую аксиоматику. Никто не сомневается, что в школе можно рассматривать аксиоматику: аксиоматику группы, аксиоматику меры, линейное упорядочение, циклическое упорядочение, понятие угла - и затем аксиоматику в смысле процесса аксиоматизации. Уже с первого урока математики школьник может встретиться с группой, понятием меры, операциями с углами. [5]
Исходным пунктом послужил здесь преимущественно тот ее результат, согласно которому евклидова аксиома параллельности логически независима от предшествующих ей аксиом геометрии ( с. Так возникла современная геометрическая аксиоматика, следующая в своих изысканиях в точности тем путям, которые были намечены предыдущими исследованиями: стараются установить, какие части геометрии можно построить без применения части аксиом, а также можно ли, заменяя одну какую-нибудь определенную аксиому ей противоположной, прийти к логически непротиворечивой системе - к одной из так называемых псев догеометрий. [6]
Ответ, что без аксиоматики нет геометрической строгости, что школьник должен изучать и геометрическую строгость, я отклоняю. Что означает строгость, зависит от контекста; тот, кто хочет оправдать геометрическую аксиоматику потребностью в строгости, должен сначала указать геометрический контекст, который не был бы адекватно воспринят в смысле локального упорядочения. Такие контексты существуют, но обычно программы по аксиоматике едва ли подходят к ним. То, что школьник должен изучать нечто ( скажем, аксиоматически-геометрическую строгость), верно лишь тогда, когда должен исходит из потребности школьника, а не учителя. Как может возникнуть такая потребность, показывает мысленный эксперимент. [7]
Собственная цель геометрической аксиоматики - освобождение от онтологических связей - заведомо не достигается в этих опытах, ибо система аксиом вводится в готовом виде. Школьнику дают понять, что он может забыть все, что знал раньше или доказывал о точках и прямых. Он должен отныне ограничиться высказываниями, сформулированными в аксиомах, и лишь в рамках этих аксиом действовать в дальнейшем. В истории математики подобные веяния были, пожалуй, мотивированы. Современная геометрическая аксиоматика появилась после успехов неевклидовой геометрии, после сомнений в истинности евклидовой геометрии; аксиоматика действительных чисел была вызвана к жизни парадоксами понятия предела - подобных примеров можно привести немало. [8]
Можно вступить в противоречие с широкой неопределенностью языка; поэтому нужно аксиомы и другие высказывания формализовать словесно. Для такой формализации опять-таки есть различные уровни; на очень высоком уровне можно в заключение формализовать и дедукцию. Аксиоматизация, следовательно, вовсе не высшее достижение; существуют уровни и выше, и ниже ее. Однако именно это постоянно пытаются сделать - разумеется, лишь с кажущимся успехом. Геометрическая аксиоматика особенно опасна в этом отношении. Я знаю, что в нашем учебном процессе так бывает часто, но разумные педагоги как раз и хотят избавиться от этого. Аксиоматика же грозит опасностью увязнуть еще глубже. [9]