Cтраница 2
Лемма 3.4. Если М - тривиальный G-модуль, то для любого правого G-модуля А тензорное произведение А с М канонически изоморфно тензорному произведению AG ( S) M, где AG A / AJG - наибольший фактор-модуль, действие группы G на котором тривиально. [16]
Легко проверить, что структура G-модуля в Л и набор элементов / ( gi § 2) 0, gi, g2 & G, удовлетворяющих условию ( 15), уже определяет расширение Г группы G при помощи А. [17]
Ясно, что ядром G-гомоморфизма будет G-модуль и фактормо-дулем G-модуля по G-подмодулю - снова G-модуль. Пусть ЭКО - множество классов ( G, &) - модулей относительно G-изоморфизма. Это множество является моноидом, сложе ie в котором представляется на модулях прямой суммой. [18]
Ясно, что ядром G-гомоморфизма будет G-модуль и фактормо-дулем G-модуля по G-подмодулю - снова G-модуль. Пусть Шп - множество классов ( G, - модулей относительно G-изоморфизма. Это множество является моноидом, сложе -: ie в котором представляется на модулях прямой суммой. [19]
Для любого G-модуля Л обозначим А тривиальный G-модуль с той же самой аддитивной группой. [20]
Здесь Z / pS рассматривается как дискретный G-модуль с тривиальным действием. [21]
Следовательно, р является гомоморфизмом / G-модулей. [22]
ТГ ( Е) также является G-модулем. Беря прямую сумму, мы видим, что Т ( Е) есть G-модуль и, следовательно, Т - функтор из категории G-модулей в категорию градуированных 0-модулей. [23]
Заметим прежде всего, что достаточно построить G-модуль, содержащий максимальный вектор веса А. В самом деле, предложение 31.2 показывает, что подмодуль, порожденный этим вектором, обладает максимальным подмодулем, не содержащим веса А, так что нам требуется только перейти к ( неприводимому) фактор-модулю. Это наблюдение полезно, когда мы имеем дело с тензорными произведениями. [24]
Если G - группа, то каждый G-модуль является, в частности, абелевой группой. Если R является алгеброй над коммутативным кольцом k, то каждый Н - ш-дуль является / с-модулем. [25]
Напомним, что если Е, F - G-модули, то G-гомоморфизмом называется такое - линейное отображение /: E - F, что / ( ах) - в / ( х) для всех х Е и о. [26]
Ясно, что MSa ( F) - G-модуль. [27]
Аналогично, любой правый G-модуль можно превратить в левый G-модуль. [28]
Сопряжение элементами x F индуцирует на Nab структуру G-модуля. [29]
Сопряжение элементами x F индуцирует на JVab структуру G-модуля. [30]