Cтраница 3
Для точки кольцо Ка () в точности есть кольцо R ( G) [ RO ( G) или RU ( G) ] представлений группы G, которое аддитивно изоморфно свободной абелевой группе, порожденной неприводимыми представлениями группы G. Для любого X проекция е: Х - - индуцирует из любого представления р группы G векторное G-расслоение е ( р) над X. Заметим, что е есть мономорфизм на прямое слагаемое в случае, когда в X имеются неподвижные точки, но в общем случае, при Х ф, это неверно. Отсюда следует, что любой элемент группы Ка ( Х) имеет вид [ ] - е [ р ], где - некоторое векторное G-расслоение и р - некоторое представление. [31]
Имеются также конструкции, позволяющие функториально строить К. Наиболее употребительная из них - конструкция М и л-н о р а шц ( см. Главное расслоение), причем расслоение ( OQ универсально в более широкой категории всех нумерируемых G-расслоений над произвольным топологич. [32]
Пусть G гладко действует на М, и пусть А сг М - гладкое инвариантное замкнутое подмногообразие. Тогда Т ( А) является подрасслоением ограничения Т ( М) А. Фактор-расслоение N ( А) - ( Т ( М) А) / Т ( А) называется расслоением, нормальным к Л в М и, очевидно, является гладким векторным G-расслоением над А. [33]
Дальнейшее развитие теории гладких структур на сферах и других многообразиях будет обсуждено позднее, в следующем параграфе. Для исследования гомотопических свойств пространств Тома универсальных расслоений Mjv ( G) для G О, SO, U, SU, Sp, Spin и др. следует вычислить их когомологии H ( Mn ( G), Zp) и действие операций Стинрода - т.е. вычислить когомологии как модуль над алгеброй Стинрода ( см, гл. За исключением H ( M ( Spin), Z2), когомологии извлекаются из того наблюдения, что для универсальных G-расслоений G - О, SO, U, SU, Sp вложение г: BG - Mn ( G) базы как нулевого сечения порождает мономорфизм когомологии на простой главный идеал, порождаемый г ( ип), где ип - фундаментальный класс Тома. [34]
Для точки кольцо Ка () в точности есть кольцо R ( G) [ RO ( G) или RU ( G) ] представлений группы G, которое аддитивно изоморфно свободной абелевой группе, порожденной неприводимыми представлениями группы G. Для любого X проекция е: Х - - индуцирует из любого представления р группы G векторное G-расслоение е ( р) над X. Заметим, что е есть мономорфизм на прямое слагаемое в случае, когда в X имеются неподвижные точки, но в общем случае, при Х ф, это неверно. Отсюда следует, что любой элемент группы Ка ( Х) имеет вид [ ] - е [ р ], где - некоторое векторное G-расслоение и р - некоторое представление. [35]