Cтраница 1
Схема i-правила в этом случае оказывается производной. [1]
В таком случае прежнее i-правило становится производным. Для этого обобщенного правила также справедливо утверждение об устранимости i-символов из любых выводов, внелогические исходные формулы ( собственные аксиомы) которых, а также их заключительные формулы не содержат i-символов. [2]
Приведенная здесь формулировка i-правила отличается от его формулировки, приведенной в гл. Равнозначность этих двух формулировок i-правила может быть установлена с использованием правила переименования связанных переменных. [3]
Но это доказательство устранимости i-правила распространяется только на такие формализмы, которые получаются из исчисления предикатов с i-правилом путем добавления каких-либо собственных аксиом и, может быть, аксиомы равенства ( J2), в то время как прежняя теорема была доказана с включением аксиомы полной продукции. [4]
В тех случаях, когда устранимость i-правила может быть выведена из второй е-теоремы, конечно, можно иметь дело прямо с е-символом и е-формулой, а не с i-правилом. В качестве примера мы рассмотрим вопрос о замене функциональных знаков предикатными символами. Идущее далее рассуждение имеет менее общий характер, поскольку оно не охватывает полной индукции; но, с другой стороны, нынешний результат, в отличие от прежнего, будет относиться не только к таким формализмам, которые включают в себя аксиомы равенства. [5]
Последнему из этих требований удовлетворяет формализм i-правила и не удовлетворяет, как мы только что установили, формализм е-символа. С другой стороны, формализм е-символа дает возможность рекурсивно изобразить понятие терма, в то время как в формализме i-правила этому мешает переплетение понятия терма с условиями на выводимость. [6]
Для этого нужно сначала с помощью i-правила) ввести стоящий в правой части этого равенства i-терм. [7]
I было показано, что при добавлении i-правила общая аксиома равенства продолжает оставаться равносильной специальным аксиомам); а с другой стороны, как уже упоминалось, при использовании е-формулы i-правило является производным и, значит, содержится в рассматриваемом формализме. [8]
Этот переход от системы к системе мы осуществляем с использованием i-правила. [9]
Поэтому сама собой напрашивается мысль реализовать символьное решение в общем виде посредством такой модификации i-правила, которая получится, если мы опустим в нем играющую роль посылки вторую формулу единственности. [10]
При этом используется ц-символ, который, как мы знаем, вводится с помощью i-правила. Весьма правдоподобно, что если отказаться от i-правила, то тблько что упомянутая формула станет невыводимой. [11]
Но это доказательство устранимости i-правила распространяется только на такие формализмы, которые получаются из исчисления предикатов с i-правилом путем добавления каких-либо собственных аксиом и, может быть, аксиомы равенства ( J2), в то время как прежняя теорема была доказана с включением аксиомы полной продукции. [12]
Еще одно преимущество введения е-символа заключается в том, что в результате присоединения к исчислению предикатов е-символа и е-формулы становится ненужным i-правило: к-символ полностью берет на себя ту роль, которую играет i-символ. [13]
В тех случаях, когда устранимость i-правила может быть выведена из второй е-теоремы, конечно, можно иметь дело прямо с е-символом и е-формулой, а не с i-правилом. В качестве примера мы рассмотрим вопрос о замене функциональных знаков предикатными символами. Идущее далее рассуждение имеет менее общий характер, поскольку оно не охватывает полной индукции; но, с другой стороны, нынешний результат, в отличие от прежнего, будет относиться не только к таким формализмам, которые включают в себя аксиомы равенства. [14]
I было показано, что при добавлении i-правила общая аксиома равенства продолжает оставаться равносильной специальным аксиомам); а с другой стороны, как уже упоминалось, при использовании е-формулы i-правило является производным и, значит, содержится в рассматриваемом формализме. [15]