Cтраница 1
Арифметизация метаматематики будет закончена в § 52 путем отображения обобщенной арифметики в обычную арифметику натуральных чисел. Оба результата будут вытекать из того, что некоторые арифметические предикаты, получающиеся путем отображения из метаматематических предикатов, являются примитивно-рекурсивными. [1]
Арифметизацию задачи выполняют с помощью численных методов, теория которых изложена в курсах вычислительной математики. При выборе того или иного численного метода необходимо учитывать особенности конкретной машины, точность метода и время решения задачи. Следует выбирать тот численный метод, который обеспечивает требуемую точность при минимальной затрате времени на решение задачи. [2]
Наша арифметизация допускает, чтобы список состояний машины Тьюринга содержал повторения. [3]
Эта арифметизация характерна для так называемой Берлинской школы и, в частности, для деятельности Леопольда Кронекера. К этой школе принадлежали такие выдающиеся, плодотворные в области алгебры и теории алгебраических чисел математики, как Кроне-кер, Куммер и Фробенттус. [4]
При арифметизации пространства материя вводится в рассмотрение в виде материальных точек, но распределение ее можно считать как непрерывным, так и дискретным. Иными ело; вами, имеется возможность классического и квантового толкования модели материи. [5]
Эта арифметизация математики, на которой так настаивает современная наука, является научным течением неоспоримой ценности, связанным с глубочайшим философским вопросом: может ли быть сведенным всякое математическое познание к целому числу. Не пытаясь в данный момент вынести определенный и решающий приговор по этому делу ни путем утверждения, что всякий математический факт есть просто отображение соответствующего свойства целых чисел и может быть выраженным исключительно в терминах арифметики, ни путем указания на наличие несводимых на арифметику математических фактов, о котором говорит нарождающееся в последнее время течение деарифметизации анализа - мы удовольствуемся лишь указанием на то, что концепция интуитивного или экспериментального характера обычно всегда имеет действенный интерес, даже в том случае, если она не очень хорошо поддается логическому определению, и что обычно имеет большую важность ее всестороннее изучение, и что, напротив, огромное большинство чисто-логических сущностей и понятий, встреченных на путях логического порядка, обычно бесплодны и не могут оказать никакого влияния на прогресс науки. Именно в полной мере является справедливым то давно уже сделанное замечание, что на логических путях исследования, как раз не встречают тех понятий, которые наиболее ценны, и если бы мы ограничились лишь исследованиями строго-логического характера, мы никогда бы их не имели. [6]
Для арифметизации внесения истинностных значений в эти формулы мы добавим к нашему формализму новый символ V, который будем считать несобственной элементарной формулой. Каждая формула в прежнем смысле ( в том числе и элементарная) будет называться собственной формулой или соответственно собственной элементарной формулой. [7]
Возможность арифметизации вовсе не означает отказ от всех других понятий математики, а лишь убеждает нас в том, что фундаментом математики может служить арифметика. [8]
Метод арифметизации метаматематики был разработан Геделем в целях доказательства двух весьма общих теорем, выражающих тот факт, что всякий логико-математический формализм, с одной стороны, четко очерченный, а с другой стороны, не слишком узкий, является дедуктивно незавершенным. [9]
В результате арифметизации многие математические понятия выражаются через различные системы натуральных чисел, которые могут быть и бесконечными. [10]
В основе этой арифметизации лежит предположение, что все рассматриваемые множества конечны, причем их мощность в момент работы с ними известна. В таком случае все эти множества занумеровываются, после чего в качестве представления элемента множества берется его номер. [11]
Тем не менее арифметизация метаматематики арифметического формализма позволит нам доказать одно наше ( сделанное при обсуждении парадокса Ришара) замечание3) относительно того, что условие, обозначенное нами посредством в), в случае арифметического формализма может быть удовлетворено. [12]
Особенно эффективен метод арифметизации, когда задача приводится к системе, содержащей одновременно как логические, так и алгебраические уравнения и неравенства. [13]
В связи с арифметизацией алгебры все более видное место начинают занимать и обойденные в общем Ньютоном вопросы о сущности отрицательных чисел. Карно и многие другие-посвятили немало усилий разъяснению природы отрицательных чисел и попыткам обоснования правил действий над ними. [14]
Непосредственное применение этих правил арифметизации будет показано на соответствующих этапах программирования. [15]