Cтраница 3
Поскольку произведение гомоморфизмов является гомоморфизмом, то это множество оказывается кольцом с единицей, которое называется кольцом эндоморфизмов модуля М и обычно обозначается через End MR или просто End M. Это дает две возможности для превращения множества EndM в кольцо. Тождественное отображение множества EndTW на себя является антиавтоморфизмом этих колец. [31]
Остается заметить, что, в силу леммы 1, D-пространство М должно быть конечномерным и что кольцо эндоморфизмов конечномерного D-пространства изоморфно кольцу матриц над D ( ср. [32]
И вообще, каждой абелевой подгруппе из G отвечает подкольцо в K ( G), являющееся кольцом эндоморфизмов; это подкольцо состоит из всех эндоморфизмов группы, переводящих каждый элемент группы в элемент данной абелевой подгруппы. [33]
Левая дистрибутивность кольца равносильна тому, что все его инъективные неразложимые левые модули являются цепными правыми модулями над своими кольцами эндоморфизмов. Левая дистрибутивность инвариантного справа и слева полупервичного кольца равносильна тому, что все его идеалы являются плоскими. Все левые [ правые ] идеалы дистрибутивного справа и слева полупервичного кольца, целого над своим центром, являются плоскими. [34]
Для того чтобы кольцо К было кообразующим правым - модулем, необходимо и достаточно, чтобы все конечно порожденные односторонние идеалы кольца эндоморфизмов любого свободного правого - модуля являлись аннуляторными ( Бродский Г. М. / / Мат. [35]
Для дальнейшего отметим, что лиево кольцо, соответствующее в указанном смысле кольцу эндоморфизмов абелевой группы G, мы будем называть лиевым кольцом эндоморфизмов этой абелевой группы. [36]
Правые эндоморфизмы точно так же составляют некоторое кольцо - кольцо правых эндоморфизмов о-модуля ЭЛ, Когда в этом и следующем параграфах речь пойдет о кольце эндоморфизмов некоторого модуля, будет постоянно подразумеваться кольцо правых эндоморфизмов. [37]
С другой стороны, если задан Д - модуль G, то, ввиду ( 5) и ( 6), этим задан гомоморфизм кольца R в кольцо эндоморфизмов аддитивной группы G. Отметим также, что, рассматривая выше аддитивную группу кольца R как Л - операторную, используя правые умножения, мы на самом деле в случае ассоциативного кольца R превратили эту группу в Д - модуль, так как справедливость условий ( 5) и ( 6) вытекает здесь из свойств ассоциативного кольца. [38]
R удовлетворяет условию максимальности для правых [ левых ] аннуляторных идеалов и Ext ( М, ) 0 при любом п 1 для всех конечно представимых правых [ левых ] - модулей М; ( 16) R артиново справа и является инъективным ко-образующим правым [ левым ] - модулем; ( 17) артиново слева и справа, а каждый простой правый [ левый ] - модуль рефлексивен; ( 18) артиново слева и справа, радикал Джекобсона кольца является как правым, так и левым аннуляторным идеалом и каждый из минимальных левых и правых идеалов кольца R является левым и правым аннуляторным идеалом соответственно; ( 19) кольцо эндоморфизмов каждого свободного правого [ левого ] - модуля само-инъективно справа; ( 21) конечно порожденные односторонние идеалы кольца эндоморфизмов любого проективного образующего [ инъективного кообразующе-го ] правого - модуля являются правыми или левыми аннуляторными идеалами соответственно ( [45], гл. [39]
R самоинъективно слева и справа и каждый его правый идеал является аннуля-тором нек-рого конечного множества из Л; ( 8) Л совершенно справа и каждый конечно порожденный левый Л - модуль вкладывается в проективный модуль; ( 9) Л когерентно и совершенно справа и ExtK ( M, R) 0 для всех конечно представимых левых Л - модулей М; ( 10) Л удовлетворяет условию максимальности для левых ан-нуляторов и Ext ( M, Л) 0 для всех конечно представимых левых Л - модулей М, ( 11) Л артиново слева и справа и для всякого конечно порожденного левого Л - модуля М длины модулей М и Нот % ( М, Л) совпадают; ( 12) кольцо эндоморфизмов каждого свободного левого Л - модуля самоинъективно слева; ( 13) конечно порожденные односторонние идеалы кольца эндоморфизмов любого проективного образующего ( инъективного кооб-разующего) категории левых Л - модулей являются анну-ляторами. [40]
R удовлетворяет условию максимальности для правых [ левых ] аннуляторных идеалов и Ext ( М, ) 0 при любом п 1 для всех конечно представимых правых [ левых ] - модулей М; ( 16) R артиново справа и является инъективным ко-образующим правым [ левым ] - модулем; ( 17) артиново слева и справа, а каждый простой правый [ левый ] - модуль рефлексивен; ( 18) артиново слева и справа, радикал Джекобсона кольца является как правым, так и левым аннуляторным идеалом и каждый из минимальных левых и правых идеалов кольца R является левым и правым аннуляторным идеалом соответственно; ( 19) кольцо эндоморфизмов каждого свободного правого [ левого ] - модуля само-инъективно справа; ( 21) конечно порожденные односторонние идеалы кольца эндоморфизмов любого проективного образующего [ инъективного кообразующе-го ] правого - модуля являются правыми или левыми аннуляторными идеалами соответственно ( [45], гл. [41]
R самоинъективно слева и справа и каждый его правый идеал является аннуля-тором нек-рого конечного множества из Л; ( 8) Л совершенно справа и каждый конечно порожденный левый Л - модуль вкладывается в проективный модуль; ( 9) Л когерентно и совершенно справа и ExtK ( M, R) 0 для всех конечно представимых левых Л - модулей М; ( 10) Л удовлетворяет условию максимальности для левых ан-нуляторов и Ext ( M, Л) 0 для всех конечно представимых левых Л - модулей М, ( 11) Л артиново слева и справа и для всякого конечно порожденного левого Л - модуля М длины модулей М и Нот % ( М, Л) совпадают; ( 12) кольцо эндоморфизмов каждого свободного левого Л - модуля самоинъективно слева; ( 13) конечно порожденные односторонние идеалы кольца эндоморфизмов любого проективного образующего ( инъективного кооб-разующего) категории левых Л - модулей являются анну-ляторами. [42]
Кольцо эндоморфизмов абелевои группы самоинъективно справа тогда и только тогда, когда GD A, где D - делимая группа, а А - редуцированная вполне характеристическая сервантная подгруппа прямого произведения прямых сумм изоморфных циклических / 7-групп, причем в случае, когда D 0, A - периодическая группа. Кольцо эндоморфизмов периодической абелевои группы А оказывается нетеровым слева или справа тогда и только тогда, когда А - прямая сумма конечного числа коцикличе-ских групп ( группа С называется коциклической, если существует такой элемент с е С, что всякий гомоморфизм ф: С - э - В, где ф ( с) 0, является мономорфизмом), - см. [92], § 111; Иванов А. В. / Абелевы группы и модули. [43]
Кольцо эндоморфизмов абелевой группы самоинъективно справа тогда и только тогда, когда G D A, где D - делимая группа, а А - редуцированная вполне характеристическая сервантная подгруппа прямого произведения прямых сумм изоморфных циклических р-групп, причем в случае, когда D. Кольцо эндоморфизмов периодической абелевой группы А оказывается нетеровым слева или справа тогда и только тогда, когда А - прямая сумма конечного числа коцикличе-ских групп ( группа С называется коциклической, если существует такой элемент с е С, что всякий гомоморфизм ф: С - - В, где ф ( с) 0, является мономорфизмом), - см. [92], § 111; Иванов А. В. / Абелевы группы и модули. [44]
Факторкольцо кольца эндоморфизмов квазиинъективного модуля по его радикалу Джекобсона регулярно, причем идемпотенты можно поднимать по модулю радикала. Если Q - антисингулярный квазиинъективный модуль, то кольцо EndQ регулярно и самоинъективно справа. Эквивалентны следующие свойства квазиинъективного правого - модуля Q; ( 1) Q эндоконечен; ( 2) Q конечно точен; ( 3) Q эндоконечен и инъективен как ( R / Апп Q) - модуль. [45]