Cтраница 1
Базисные коммутаторы в A - Fvfil2) не порождают производную группу А, даже несмотря на то, что они ( в силу утверждений 31.52 и 31.53) порождают А по модулю любого члена нижнего центрального ряда. [1]
Пусть базисные коммутаторы весов, меньших п, уже определены и упорядочены так, что коммутаторы веса i следуют за коммутаторами меньших весов, и между собой упорядочены произвольным способом. [2]
Пусть базисные коммутаторы весов, меньших п, уже определены и упорядочены так, что коммутаторы веса j следуют за коммутаторами меньших весов, и между собой упорядочены произвольным способом. [3]
Соберем теперь базисные коммутаторы, входящие в h, для которых п ( Ь), а - значит, и п ( а) с - п ( Ь) постоянно. [4]
СЛЕДСТВИЕ 11.2.1. Базисные коммутаторы степени т линейно независимы. [5]
В частности, базисные коммутаторы веса k образуют свободный базис факторгруппы rh / fk 1, являющейся, следовательно, свободной абелевой группой. Это обстоятельство, конечно, оправдывает термин базисный в применении к этим коммутаторам. [6]
ЛЕММА 11.2.1. Между базисными коммутаторами веса п и Циклическими словами длины и периода п имеет место взаимно однозначное соответствие. [7]
В метабелевой группе нетривиальны лишь левонормирован-ные базисные коммутаторы. [8]
Если [ Ь, а 1 ] можно выразить через базисные коммутаторы, то обозначим через m наивысший из встречающихся весов. [9]
Тогда продолжим порядок, полагая сс -, если wtcwtc /, и фиксируя любой порядок среди базисных коммутаторов веса k, и, наконец, перенумеруем их в этом порядке. [10]
Заметим, что если коммутаторы упорядочены по весам, а в остальном - произвольным образом, то собирательный процесс, примененный к положительным словам, дает только базисные коммутаторы. [11]
Этим создан базис для индукции по классу, и мы теперь предположим, что лемма верна для класса с - 1; отсюда следует, что все базисные коммутаторы веса, не превосходящего с-1, должны входить в выражение элемента g с нулевыми показателями. Мы, следовательно, можем предположить, что встречаются только базисные коммутаторы веса с. G в А, при котором g имеет нетривиальный образ. [12]
Коммутаторы веса п следуют за коммутаторами весов. Базисные коммутаторы считаем пронумерованными так, что они упорядочены по индексам. [13]
Этим создан базис для индукции по классу, и мы теперь предположим, что лемма верна для класса с - 1; отсюда следует, что все базисные коммутаторы веса, не превосходящего с-1, должны входить в выражение элемента g с нулевыми показателями. Мы, следовательно, можем предположить, что встречаются только базисные коммутаторы веса с. G в А, при котором g имеет нетривиальный образ. [14]
Но для оправдания приведенного выше описания мы должны показать, что при таком процессе в каждой формуле могут возникнуть только базисные коммутаторы. Исходная формула (12.3.1) представляет собой нулевой этап и содержит только образующие uit являющиеся базисными коммутаторами веса один. [15]