Cтраница 3
В этом разделе мы предполагаем конус Г не только замкнутым, но и острым. Это означает, что сопряженный к нему конус Г также является острым. Пусть G ( A) обозначает некоторую меру на Г, конечную в любом компакте К с Г ( далее будем иметь дело лишь с мерами такого типа. [31]
Эти оценки начали систематически использоваться С. D с непрерывными по Гельдеру коэффициентами и бывают двух видов. Оценки первого вида ( оценки внутри) состоят в том, что на любом компакте K. D производные до 2-го порядка включительно и их гельде-ровские константы оцениваются через sup u и через модуль и гельдеровскую константу правой части уравнения. Оценки второго вида ( оценки вплоть до границы) относятся к краевым задачам. Здесь оценивают те же величины, но ужо в замыкании рассматриваемой области, и в оценке фигурируют нормы правых частей граничных условий. [32]
Если сужение F на К полунепрерывно сверху, то Ск является замкнутым, подмножеством в К, Но тогда С П К Ск замкнуто и в X. Так как подмножество метрического пространства Z замкнуто тогда и только тогда, когда его пересечение с любым компактом из Z замкнуто ( см. [23]), то С является замкнутым подмножеством пространства Z. Поэтому отображение F полунепрерывно сверху на Z. Аналогично рассматривается и долу-непрерывность снизу. [33]
На любом гладком многообразии существуют функции Морса. Для любой ограниченной гладкой функции на М и любого е 0 существуют е, близкие к / функции Морса. Более того, / можно при любом натуральном т так аппроксимировать функциями Морса / j, чтобы на любом компакте Q С М функции /; равномерно сходились к / вместе с производными до т-го порядка включительно. [34]
Воспользовавшись теперь теоремой 1.1.3 и полупепрерывностью сверху по х отображения Г, получаем, что отображение / /: М - сотр С ( [ tt, tt i ], X) имеет замкнутый график. Это отображение полунепрерывно сверху, так как, согласно теореме 4 работы, [ 24, с. Непосредственно из определения отображения А п свойств отображения II, следует, что множество At ( С) компактно для любого компакта CS ( Tt), а сужение At ] c отображения At на С полунепрерывно сверху. [35]
Покажем, что это невозможно. Каждый из этих шаров переводится компактным оператором А в компактное множество. Таким образом, АН есть сумма счетного числа компактов. Но в Н любой компакт нигде не плотен; в то же время Н, как и любое полное метрическое пространство, не может быть представлено как сумма счетного числа нигде не плотных множеств. [36]
Покажем, что это невозможно. Каждый из этих шаров переводится компактным оператором А в компактное множество. Таким образом, АН есть сумма счетного числа компактов. Но в Н любой компакт нигде не плотен; в то же время Я, как и любое полное метрическое пространство, не может быть представлено как сумма счетного числа нигде не плотных множеств. [37]