Cтраница 2
Рассмотрим теперь простое применение этих точных последовательностей. Пусть U - произвольное локально компактное хаусдорфово пространство и X - одноточечная компактификация Александрова пространства U. Тогда А Х U - пространство, состоящее из единственной точки. [16]
Для всякого локально компактного пространства X группы Н ( X) и Я с ( X) естествен но изоморфны приведенным гомологиям и когомологиям одноточечной компактификации этого пространства. Таким образом, развитие теории второго рода в сущности эквивалентно развитию теории гомологии и когомологнй в компактной категории. Однако переход к одноточечным компактификациям не всегда естествен ( например, в категории полиэдров или многообразий, а также во всех тех случаях, когда гомологии и когомологии второго рода фигурируют одновременно с обычными), поэтому даваемое в первой части книги описание гомологии / / и когомологий Не в категории локально компактных пространств вполне оправдано. [17]
Теперь легко закончить доказательство в общем случае. Пусть X - произвольное локально компактное хаусдорфово пространство и А - его замкнутое подмножество. Обозначим через У X U оо одноточечную компактификацию Александрова пространства X. [18]
Пусть Q [ 0, оо 1 - одноточечная компактификация R, и предположим что функция 0 w g С ( 0, оо ] отделена от нуля. [19]
Подкрученном группа гомологии Бореля-Муро, Ht ( B ( X k), Ji) определяется как группа гомологии комплекса локально конечных сингулярных цепей В ( Х, k) с коэффициентами в системе Z. Аналогичным образом определяем локальные системы R Z 8 R и их группы гомологии. Для любого топологического пространства X, X обозначает его одноточечную компактификацию. [20]