Cтраница 1
Счетная компактность не сохраняется, вообще говоря, конечными произведениями: в примере 3.10.19 ниже будут определены два счетно компактных хаусдорфовых пространства, произведение которых не счетно компактно. Однако если один из сомножителей является - пространством, то произведение двух счетно компактных пространств счетно компактно. [1]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.20. Счетная компактность пространства равносильна тому, что каждое его бесконечное подмножество обладает хотя бы одной предельной точкой. [2]
Секвенциальная компактность и счетная компактность равносильны в классе секвенциальных Т - пространств и, в частности, Т - пространств с первой аксиомой счетности. [3]
Импликация бикомпактность - счетная компактность очевидна. Равносильность счетной компактности п секвенциальной компактности следует из того, что всякое метрическое пространство есть Т ] - пространство и удовлетворяет первой аксиоме счстпости. [4]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.21. Для счетной компактности Т пространства X необходимо и достаточно, чтобы любая бесконечная последовательность точек мл X имела, хотя бы одну предельную точку. [5]
Приведем еще один критерий счетной компактности, представляющий собой также и полное описание класса пространств, удовлетворяющих классическому условию Больнапо-Вейерщтрасса. [6]
Соотношение между понятиями компактности и счетной компактности становится ясным из следующей теоремы. [7]
Хотя в общем случае из счетной компактности компактность не вытекает, имеет место следующий факт. [8]
Соотношение между понятиями компактности и счетной компактности становится ясным из следующей теоремы. [9]
Хотя в общем случае из счетной компактности компактность не вытекает, имеет место следующий факт. [10]
Таким образом, остается доказать импликацию счетная компактность 4 бикомпактность. Сначала докажем, что если пространство ( X, р) счетно-компактно, то при любом к0 в ( X, ) существует конечная е-сеть. С целью получения противоречия допустим, что при некотором н О в X не существует конечной к-сети. [11]
Как показано в теореме 4.1.17, компактность и счетная компактность в классе метризуемых пространств равносильны. [12]
Для пространств со счетной базой понятия компактности и счетной компактности совпадают. [13]
Хотя различить эти понятия нелегко - для нормальных пространств счетная компактность равносильна псевдокомпактности, - эти понятия, как выяснилось, разделяет пропасть: если счетная компактность наследуется замкнутыми подпространствами, то каждое тихоновское пространство вкладывается в качестве замкнутого подпространства в псевдокомпактное пространство. Всестороннему изучению были подвергнуты нормальность и свойство Линделефа, в частности, был построен пример нормального не счетно паракомпактного пространства. Много тонких исследований было посвящено свойствам типа полноты: полноте по Чеху, полноте по Хьюитту, полноте по Дьедонне и др. Были введены и продемонстрировали свое важное значение - для создания единой классификации топологических пространств - новые классы пространств и отображений: перистые, кружевные пространства, линделефовы 2-пространства, псевдооткрытые, бифакторные отображения. [14]
Итак, мы показали, что для метрических пространств счетная компактность влечет полную ограниченность, которая в свою очередь влечет наличие счетной базы. [15]