Cтраница 2
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.22. Для пространств со счетной базой бикомпактность равносильна счетной компактности. Импликация бпкомпактпость - счетная компактность очевидна. [16]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.24. Для метрических пространств бикомпактность, секвенциальная компактность и счетная компактность равносильны. [17]
Заметьте, что на множестве полных по Дьедонне пространств компактность, счетная компактность и псевдокомпактность эквивалентны. [18]
Ясно, что в классе / - пространств секвенциальная компактность влечет за собой счетную компактность; если же пространство к тому же удовлетворяет первой аксиоме счетиости, то из его счетной компактности следует его секвенциальная компактность. [19]
Следовательно, для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности, понятия компактности и счетной компактности совпадают. [20]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.23. Для Т - пространств со счетной ба: кш бикомпактность, секвенциальная компактность и счетная компактность равносильны. [21]
Хотя различить эти понятия нелегко - для нормальных пространств счетная компактность равносильна псевдокомпактности, - эти понятия, как выяснилось, разделяет пропасть: если счетная компактность наследуется замкнутыми подпространствами, то каждое тихоновское пространство вкладывается в качестве замкнутого подпространства в псевдокомпактное пространство. Всестороннему изучению были подвергнуты нормальность и свойство Линделефа, в частности, был построен пример нормального не счетно паракомпактного пространства. Много тонких исследований было посвящено свойствам типа полноты: полноте по Чеху, полноте по Хьюитту, полноте по Дьедонне и др. Были введены и продемонстрировали свое важное значение - для создания единой классификации топологических пространств - новые классы пространств и отображений: перистые, кружевные пространства, линделефовы 2-пространства, псевдооткрытые, бифакторные отображения. [22]
Ясно, что в классе / - пространств секвенциальная компактность влечет за собой счетную компактность; если же пространство к тому же удовлетворяет первой аксиоме счетиости, то из его счетной компактности следует его секвенциальная компактность. [23]
Импликация бикомпактность - счетная компактность очевидна. Равносильность счетной компактности п секвенциальной компактности следует из того, что всякое метрическое пространство есть Т ] - пространство и удовлетворяет первой аксиоме счстпости. [24]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.22. Для пространств со счетной базой бикомпактность равносильна счетной компактности. Импликация бпкомпактпость - счетная компактность очевидна. [25]
Действительно, по теореме 5.14 счетно-компактное метрическое пространство вполне ограничено, значит, согласно следствию из леммы 3, имеет счетную базу. Для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности, понятия счетной компактности и компактности совпадают. [26]
Предположим теперь, что метрическое пространство М вполне ограничено и полно. Для доказательства компактности М и силу следствия из теоремы 5.14 достаточно доказать его счетную компактность. Для этого покажем, что любое бесконечное подмножество М имеет хотя бы одну предельную точку. [27]
Параграф 4.1 открывается определениями метрического и метризуемого пространства; мы показываем, как метрика индуцирует топологию, и называем две метрики эквивалентными, если они индуцируют одну и ту же топологию. Параграф завершается двумя важными теоремами, утверждающими, что для метризуемых пространств понятия компактности, счетной компактности и секвенциальной компактности эквивалентны и что эти свойства влекут за собой сепарабельность. [28]
Если за Э ( принять класс счетных открытых покрытий, сохраняя в качестве SB подкласс конечных покрытий, то соответствующая ( 31, В) - компактность наз. Для метризуе-мых пространств, а также для хаусдорфовых пространств со счетной базой условия бикомпакт-ности и счетной компактности эквивалентны между собой. Если за 31 взять класс всех открытых покрытий, а за SB - класс счетных покрытий, то получается условие финальной компактности. [29]
Но в силу последней теоремы каждое такое множество есть метризуемое топологическое пространство, а для метрических пространств компактность и счетная компактность совпадают. Таким образом, мы получаем следующий результат. [30]