Cтраница 4
То была лекция, составленная Рим а ном для Гаусса. Этим объясняется форма изложения. На протяжении нескольких страниц изложен, вернее, намечен ряд глубоких идей, получающих строго математическое выражение. Однако, вычисления отсутствуют; указаны только результаты, и притом в неясной, сжатой форме. Это не был мемуар, приготовленный автором к печати, это незаконченное исследование. Существенным здесь является задание элемента многообразия п числами без всякого предварительного указания на то. Римана исследование многообразия начинается с того момента, как эти числа заданы. Этот первый шаг к арифметизации геометрии является характерным для Римаиова замысла. Zahlenman-nigfaltigkeit; такое многообразие теперь принято обозначать ( Скоутен, Вейль) символом Хп. Синтезу этих тенденций мы обязаны наиболее плодотворными исследованиями в той отрасли математики, которую я имею в виду здесь развернуть. И именно, чтобы ярко этот процесс в своем изложении осветить, я счел нужным уже здесь его отчетливо отметить. [46]
При изучении групп преобразований евклидовы пространства, шары, сферы и проективные пространства являются наилучшими пробными пространствами. Это обусловлено идеальной комбинацией большого запаса линейных действий и простоты топологического строения. Большая часть глубоких результатов теории топологических групп преобразований сосредоточена пока вокруг изучения перечисленных выше пробных пространств. Вообще говоря, идеальное сочетание простого топологического строения и большого Запаса линейных действий на пробных пространствах очень полезно вначале для выяснения некоторых основных закономерностей. V и VI, относящиеся к таким пробным пространствам, привели нас как к пониманию особой важности элементарных абелевых групп во всей теории топологических групп преобразований, так и к формулировке важных теорем о расщеплении в гл. Однако мц сузим перспективу нежелательным образом, если будем некритически настаивать на когомологической простоте пробных пространств. В этой главе мы начинаем расширять совокупность пробных пространств рассматривая группы преобразований на компактных однородных пространствах. Так как компактные однородные пространства покрывают обширную область топологических типов, но все же допускают большое разнообразие естественных действий, то они особенно подходят для изучения групп преобразований. Однако, строго говоря, систематическое изучение групп преобразований на компактных однородных пространствах еще не началось. По этой причине те немногочисленные простые результаты, которые мы изложим в этой главе, находятся в довольно неудовлетворительной форме. На самом деле их следует считать не более чем предварительным указанием на обилие интересных естественных задач в этой области. [47]