Cтраница 3
Далее, пусть X - данное гладкое ( т 1) - мерное многообразие с краем В. Иными словами, мы будем рассматривать пары ( М, ( р), где М - гладкое специальное G-многообразие и ( р: М - X - гладкое отображение, которое пропускается через фактормногообразие M / G таким образом, что индуцированное отображение ( р: M / G - X есть диффеоморфизм. [31]
Мы знаем, что G - циклическая группа. Таким образом, группа G действует на S3, сохраняя все эти слоения Зейферта. Базовые орбиобразия всех индуцированных расслоений Зейферта на фактормного-образии S3 / G имеют вид S2, S2 ( p) или S2 ( p, q), и поэтому S3 / G можно представить как объединение двух слоеных пол-ноториев. Эти фактормногообразия S3 / G являются линзовыми пространствами. [32]
Оставшиеся два параграфа этой главы посвящены строгому изложению теоретического обоснования метода нахождения инвариантных относительно группы решений. Их благополучно могут пропустить те, кого интересуют лишь приложения этой техники. Строгое глобальное геометрическое оформление этих результатов осуществляется с помощью понятия фактор многообразия некоторого многообразия по некоторой регулярной группе преобразований. Каждая точка фактормногообразия соответствует орбите этой группы, так что фактормногообразие по существу имеет размерность на г меньше, где г - число параметров группы. Объекты на исходном многообразии, инвариантные относительно группы, будут иметь естественные аналоги на фактор многообразии, которые полностью их характеризуют. [33]
Поскольку F ( g - x) F ( x), если g - x определено, функция F является постоянной вдоль орбит группы G. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между G-инвариантными функциями на М и произвольными функциями на М / С. Таким образом, проектирование на фактормногообразие приводит к понижению числа степеней свободы на s - размерность орбит действия группы. [34]
В § 1 обсуждаются три двумерные геометрии, S2, Е2 и Я2, и дается элементарное введение в геометрию гиперболической плоскости. Рассмотрены дискретные группы изометрий многообразий S2, E2 и Я2 и приведены центральные результаты в этой области. Термин орбиобразие принадлежит Терстону и используется для описания фактормногообразия по действию группы, которая не обязана действовать свободно. Некоторые авторы употребляют термин У-многообразие. Как было сказано ранее, всякая замкнутая поверхность допускает геометрическую структуру. Ситуация для орбиобразий близка - почти любое двумерное орбиобразие допускает геометрическую структуру. [35]
Оставшиеся два параграфа этой главы посвящены строгому изложению теоретического обоснования метода нахождения инвариантных относительно группы решений. Их благополучно могут пропустить те, кого интересуют лишь приложения этой техники. Строгое глобальное геометрическое оформление этих результатов осуществляется с помощью понятия фактор многообразия некоторого многообразия по некоторой регулярной группе преобразований. Каждая точка фактормногообразия соответствует орбите этой группы, так что фактормногообразие по существу имеет размерность на г меньше, где г - число параметров группы. Объекты на исходном многообразии, инвариантные относительно группы, будут иметь естественные аналоги на фактор многообразии, которые полностью их характеризуют. [36]
Окончательный подсчет числа замкнутых плоских трехмерных многообразий дает: их всего десять, причем шесть из них ориентируемы. Заметим, что G содержит по одному винтовому движению вдоль прямых, параллельных оси г, на каждую целочисленную точку плоскости ху. Слоение пространства Е3 на прямые, параллельные оси г, наделяют факторпространство E3 / G структурой расслоения Зей-ферта над орбиобразием S2 ( 2, 2, 2, 2), а слоение на прямые, параллельные ( скажем) оси х, наделяет E3 / G структурой расслоения на окружности над бутылкой Клейна. Можно провести и более грубое построение, напрямую работающее с фактормногообразиями, в котором используется представление бутылки Клейна в виде слоения Зейферта над интервалом с двумя особыми слоями, соответствующими его концам. [37]
G, сводится к системе первого порядка на фактормногообразии M / G. Конечно, если группа G неразрешима, мы не сможем восстановить решения исходной системы по решениям приведенной системы с помощью квадратур, но в данный момент нас это не интересует. В случае когда многообразие М пуассоново, a G является гамильтоновой группой преобразований, фактормногообразие естественным образом наследует пуассонову структуру, относительно которой редуцированная система оказывается гамильтоновой. [38]
Как отмечалось ранее, одна из технических трудностей состоит в том, что фактормногообразие M / G может не удовлетворять условию отделимости Хаусдорфа. Поэтому мы естественно приходим к рассмотрению более общего понятия многообразия, чем обычно. Можно развить целую теорию многообразий без аксиомы отделимости Хаусдорфа, и в этом случае, как показал Пале ( Palais [1]), в той же категории сохраняется конструкция фактормногообразия. Другой подход, который чаще принимается на практике, состоит в том, что нехаус - дорфовы особенности убираются с фактормногообразия M / G тем, что мы ограничиваем наше внимание достаточно малым открытым подмногообразием М исходного многообразия М, таким, что M / GdM / G - открытое хаусдорфово подмногообразие. Например, М может быть координатной картой, на которой мы строим полное множество функционально независимых инвариантов. [39]
Приложения, охваченные книгой, включают вычисление групп симметрии дифференциальных уравнений, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе специальную технику для уравнений Эйлера - Лагранжа или гамильтоновых систем, дифференциальные инварианты и построение уравнений с предписанными группами симметрии, инвариантные относительно групп решения уравнений с частными производными, теорию размерности, связь между законами сохранения и группами симметрии. Подробно рассматриваются обобщения основного понятия группы симметрии и их приложения к законам сохранения, условия интегрируемости, вполне интегрируемые системы, солитонные уравнения и бигамильтоновы системы. Изложение в разумных пределах замкнуто в себе и дополнено многочисленными примерами, представляющими непосредственный физический интерес и взятыми из классической механики, механики жидкости, теории упругости и других прикладных областей. Кроме основополагающей теории многообразий, групп и алгебр Ли, групп преобразований и дифференциальных форм в книге рассматриваются более специальные вопросы теории продолжения и дифференциальных уравнений: теорема Коши - Ковалевской, характеристики и интегрируемость дифференциальных уравнений, расширенные пространства струй на многообразиях, фактормногообразия, присоединенное и коприсоеди-ненное представления групп Ли, вариационное исчисление и обратная задача характеризации систем, являющихся уравнениями Эйлера - Лагранжа некоторой вариационной задачи, дифференциальные операторы, операторы Эйлера высших порядков и вариационные комплексы, общая теория пуассоновых структур как для конечномерных гамильтоновых систем, так и для систем эволюционных уравнений. Все это имеет непосредственное отношение к изучению симметрии дифференциальных уравнений. Предполагается, что, прочитав эту книгу, читатель будет в состоянии с минимумом трудностей применить эти важные теоретико-групповые методы к интересующим его системам дифференциальных уравнений и сделать новые интересные выводы об этих системах. [40]
Замкнутых поверхностей с нулевой эйлеровой характеристикой также существует лишь две - тор Т и бутылка Клейна / С, и обе они допускают метрику постоянной, а именно равной нулю кривизны. Такие метрики называются плоскими. Если G - группа изометрий Е2, порожденная двумя сдвигами в линейно-независимых направлениях, то фактормногообразие Е2 по действию группы G гомеоморфно тору Т и наследует от Е2 плоскую метрику. Плоскую метрику на бутылке Клейна К можно получить, рассматривая фактормногообразие Е2 по действию группы G, порожденной сдвигом и скользящей симметрией э линейно-независимых направлениях. [41]
Как отмечалось ранее, одна из технических трудностей состоит в том, что фактормногообразие M / G может не удовлетворять условию отделимости Хаусдорфа. Поэтому мы естественно приходим к рассмотрению более общего понятия многообразия, чем обычно. Можно развить целую теорию многообразий без аксиомы отделимости Хаусдорфа, и в этом случае, как показал Пале ( Palais [1]), в той же категории сохраняется конструкция фактормногообразия. Другой подход, который чаще принимается на практике, состоит в том, что нехаус - дорфовы особенности убираются с фактормногообразия M / G тем, что мы ограничиваем наше внимание достаточно малым открытым подмногообразием М исходного многообразия М, таким, что M / GdM / G - открытое хаусдорфово подмногообразие. Например, М может быть координатной картой, на которой мы строим полное множество функционально независимых инвариантов. [42]
Замкнутых поверхностей с нулевой эйлеровой характеристикой также существует лишь две - тор Т и бутылка Клейна / С, и обе они допускают метрику постоянной, а именно равной нулю кривизны. Такие метрики называются плоскими. Если G - группа изометрий Е2, порожденная двумя сдвигами в линейно-независимых направлениях, то фактормногообразие Е2 по действию группы G гомеоморфно тору Т и наследует от Е2 плоскую метрику. Плоскую метрику на бутылке Клейна К можно получить, рассматривая фактормногообразие Е2 по действию группы G, порожденной сдвигом и скользящей симметрией э линейно-независимых направлениях. [43]
В частности, группы G и G должны быть изоморфными. Если через X обозначить универсальную накрывающую многообразия X, то определена естественная геометрия ( X, G), где группа G состоит из всех диффеоморфизмов многообразия X, являющихся поднятиями элементов группы G. Поэтому разумно ограничить наше внимание геометриями ( X, G) для односвязных многообразий X. Так, если X - это R2, то мы отдадим предпочтение рассмотренной ранее геометрии ( R2 /), а не, скажем, геометрии ( R2, R2), где группа R2 действует на себе сдвигами. Последнее ограничение, которое нам следует наложить в размерности три, заключается в том, что существует подгруппа Н группы G, действующая на X как группа накрытия, причем фактормногообразие по этому действию компактно. Мы будем говорить в таком случае, что эта геометрия допускает компактную факторгеометрию. [44]
Если эта гипотеза верна, то фигурирующее в ней многообразие М обладает геометрической структурой. Действительно, в противном случае каноническое множество торов в М было бы непусто, и, как нетрудно показать, это семейство можно было бы выбрать инвариантным относительно группы накрытия. Таким образом, М содержало бы несжимаемый тор и потому было бы многообразием Хакена. В недавней работе автора [58] ( см. также [4]) показано, что если MI - слоение Зейферта, то М также является слоением Зейферта и потому обладает геометрической структурой. Если многообразие М гиперболично, то фундаментальная группа щ ( М) есть свободное от кручения конечное расширение группы jti ( Mi) и ni ( Mi) действует на Я3 как группа изометрий с компактным фактормногообразием по этому действию. [45]