Cтраница 2
Хотя требование ассоциативности умножения в кольце оказывается весьма естественным, как только что было показано, однако очень часто оно не выполняется. Это алгебра, являющаяся абелевой группой по сложению и группоидом по умножению, причем эти операции связаны законами дистрибутивности. Слова аддитивная группа кольца я мультипликативный группоид кольца имеют понятный смысл. [16]
Аксиома 1.6 означает ассоциативность умножения на число; аксиомы 1.7 и 1.8 выражают два дистрибутивных закона, связывающих сложение с умножением на число. [17]
Ассоциативность следует из ассоциативности обычного умножения целых чисел. [18]
Поэтому при проверке ассоциативности умножения достаточно убедиться в том, что на элементах базиса умножение ассоциативно. Таким образом, ассоциативность умножения в групповой алгебре является прямым следствием ассоциативности умножения в группе. [19]
Здесь использовано свойство ассоциативности умножения подстановок и тот факт, что га - а, ае 0 для любой подстановки ст; последнее равенство легко проверить, исходя из определения умножения подстановок. [20]
Равенство а а, ассоциативность умножения, наличие единицы и коммутативность обеих операций очевидны. [21]
Равенство а2 а, ассоциативность умножения, наличие единицы и коммутативность обеих операций очевидны. [22]
Формула ( I) выражает ассоциативность умножения. [23]
Все аксиомы кольца, кроме ассоциативности умножения, легко проверяются. Элемент 1бН является единицей нового кольца. Построенная алгебра называется алгеброй Кэли или алгеброй октав и обозначается О. [24]
Теорема распространяется рекуррентно, в силу ассоциативности умножения, на любое конечное число сомножителей. [25]
Одним из наиболее естественных ограничений является условие ассоциативности умножения. Класс ассоциативных колец занимает важное место в теории колец и наиболее хорошо изучен. Однако в математике и ее приложениях часто возникают и другие классы колец, в которых условие ассоциативности умножения уже не всегда выполняется. Такие кольца называются неассоциативными. В этом параграфе мы рассмотрим основные классы неассоциативных колец и приведем наиболее важные понятия и результаты, описывающие строение колец из этих классов. [26]
Ассоциативность умножения можно доказать аналогично, исходя из ассоциативности умножения в кольце К. [27]
Наоборот, из соотношения ( 1) следует ассоциативность умножения для базисных векторов, а потому, как легко проверить, и для любых элементов алгебры. [28]
Поскольку е ведет себя как единичный элемент, то ассоциативность умножения необходимо проверить лишь для случая, когда все три сомножителя равны t, а в этом случае умножение ассоциативно. Следовательно, мы получаем алгебру, которая ( как кольцо) изоморфна телу комплексных чисел. [29]
При этом ассоциативность в пучке у влечет за собой ассоциативность умножения в Н ( X, У), а пучок коммутативных колец или колец Ли приводит к градуированио-коммутативному кольцу или градуированному кольцу Ли когомологии соответственно. [30]