Cтраница 1
Кривые Бурместера для случая, когда три положения плоскости являются бесконечно близкими. [1]
Это аналитическое исследование кривых Бурместера дополним геометрическим: среди кривых второго класса, касающихся четырех заданных прямых, найдется одна кривая, одна из осей симметрии которой совпадает с линией центров; ее фокусами являются те самые точки А и В, которые мы находили при помощи величины т0; в частности, если можно построить окружность, касающуюся заданных четырех прямых, то точки А, В совпадают с ее центром и кривая Бурместера имеет узловую точку в центре этой окружности. [2]
К этому направлению относятся доклад Я. Л. Геронимуса [2], посвященный методам изучения кривых Бурместера, сообщение Л. Н. Борисенко [14] о некоторых свойствах алгебраических кривых в применении к задачам синтеза шарнирных механизмов и сообщение А. С. Шаш-кина [21] о синтезе зубчато-рычажных механизмов с выстоем. [3]
Хорошо известна та роль, которую играют в задачах геометрического синтеза механизмов кривые Бурместера - кривая центров и кривая круговых точек; эти кривые приходится строить по точкам. Мы рассмотрим один метод, который даст возможность весьма просто исследовать их свойства и получить сравнительно простые формулы, позволяющие найти аналитическим путем те параметры, по которым производится построение кривых по точкам. [4]
При наличии двух кривых, у которых одна из осей симметрии совпадает со средней линией, кривая Бурместера распадается на среднюю линию и на окружность; мы придем, таким образом, ко всем случаям распадения кривой Бурместера, указанных Бурместером. [5]
Из этого уравнения вытекает основное свойство кривой: из каждой ее точки каждые две противоположные вершины видны под углами либо равными, либо дополнительными до 180, следовательно, кривые Бурместера являются фокальными кривыми. [6]
Если т0 0, то имеем эллиптический пучок окружностей с вещественными двойными точками; откладывая по радикальной оси отрезки SA SB У - т0, мы найдем точки А к В, через которые должны проходить все окружности пучка; в этом случае кривая Бурместера состоит из двух ветвей. Если т0 0, то точки А и В совпадают, пучок будет параболическим, все окружности пучка касаются радикальной оси в точке Л В; кривая Бурместера состоит из одной ветви, имеющей узловую точку в А. Если т0 0, то имеем гиперболический пучок окружностей; откладывая по линии центров отрезки SA SB - m0, получим точки А и В, являющиеся окружностями нулевых радиусов пучка; кривая Бурместера состоит из одной ветви. [7]
Это аналитическое исследование кривых Бурместера дополним геометрическим: среди кривых второго класса, касающихся четырех заданных прямых, найдется одна кривая, одна из осей симметрии которой совпадает с линией центров; ее фокусами являются те самые точки А и В, которые мы находили при помощи величины т0; в частности, если можно построить окружность, касающуюся заданных четырех прямых, то точки А, В совпадают с ее центром и кривая Бурместера имеет узловую точку в центре этой окружности. [8]
Для четырех заданных положений шатуна можно найти такие точки, лежащие в плоскости, неразрывно связанные с шатуном, через четыре положения которых при заданных четырех положениях шатуна можно провести окружность. Геометрическим местом таких точек является кривая Бурместера. Взяв какие-нибудь две точки на этой кривой и соединив с центрами соответствующих окружностей, получим четырехзвенный механизм. [9]
Если т0 0, то имеем эллиптический пучок окружностей с вещественными двойными точками; откладывая по радикальной оси отрезки SA SB У - т0, мы найдем точки А к В, через которые должны проходить все окружности пучка; в этом случае кривая Бурместера состоит из двух ветвей. Если т0 0, то точки А и В совпадают, пучок будет параболическим, все окружности пучка касаются радикальной оси в точке Л В; кривая Бурместера состоит из одной ветви, имеющей узловую точку в А. Если т0 0, то имеем гиперболический пучок окружностей; откладывая по линии центров отрезки SA SB - m0, получим точки А и В, являющиеся окружностями нулевых радиусов пучка; кривая Бурместера состоит из одной ветви. [10]
Для пяти заданных положений на кривой Бурместера найдем отдельные точки, которые дополнительно удовлетворяют условию, что проведенная через четыре их положения окружность, одновременно пройдет и через пятое. Эти точки называются точками Бурместера. Они получаются пересечением двух кривых Бурместера, соответствующим двум комбинациям из четырех положений. В зависимости от числа точек пересечения их может быть четыре, две или ни одной. [11]
Если т0 0, то имеем эллиптический пучок окружностей с вещественными двойными точками; откладывая по радикальной оси отрезки SA SB У - т0, мы найдем точки А к В, через которые должны проходить все окружности пучка; в этом случае кривая Бурместера состоит из двух ветвей. Если т0 0, то точки А и В совпадают, пучок будет параболическим, все окружности пучка касаются радикальной оси в точке Л В; кривая Бурместера состоит из одной ветви, имеющей узловую точку в А. Если т0 0, то имеем гиперболический пучок окружностей; откладывая по линии центров отрезки SA SB - m0, получим точки А и В, являющиеся окружностями нулевых радиусов пучка; кривая Бурместера состоит из одной ветви. [12]