Cтраница 4
Естественно потребовать, чтобы гладкие функции, графики которых используются при построении частичных кривых или поверхностей, имели схожую природу, например бьыи многочленами одинаковой степени. Последняя выбирается из простых геометрических соображений и, как правило, невелика: для гладкого изменения касательной вдоль всей составной кривой достаточно описывать стыкуемые кривые при помощи многочленов 3 - й степени. [46]
Экстремалями функционала (13.22) являются ( как было показано в § 13.2) прямые линии. Поскольку экстремаль, соединяющая заданные точки Л и В, выходит за границу допустимой области S, оптимальная траектория достигается на составной кривой, включающей касательные из А и В к окружности ( х - o) 2 ( У - / о) 2Я2и дугу этой окружности между точка - Ми касания. [47]
В этом подразделе мы подробно останавливаемся на построении составных кубических кривых Безье. Именно такие кривые наиболее часто используются в приложениях. Составные кривые Безье других степеней конструируются по аналогичной схеме. [48]
Третья операция заключается в том, что кривая q - t для первой группы наращивается кривой для второй группы путем перемещения последней вправо до совмещения с кривой первой группы. Построение завершается вычислением для каждого года ординаты составной кривой как средней из ординат трех совмещенных кривых. Усредненную составную кривую сглаживают плавной линией, которая и является вероятной кривой производительности. [49]
Тогда окажется, что получившееся распределение значений параметра в узлах отражает действительное физическое распределение узлов. Поэтому параметризация по длине хорды или по какой-либо сходной мере физического распределения узлов рекомендуется в случае их неравномерного распределения. G другой стороны составные кривые Фергюсона и Безье или однородно параметризованные сплайны обычно дают приемлемые результаты, когда узлы расположены достаточно равномерно. [50]
Криволинейные сегменты этого рода затем используются для построения составных кривых, которые непрерывны и имеют заданные значения кривизны во всех узлах. Эти значения устанавливаются заранее. В общем случае оказывается, что составная кривая имеет разрывы наклона в узлах; пробные значения кривизны модифицируются в итерационном процессе до тех пор, пока изломы кривой в узлах не исчезнут. Окончательная кривая всюду непрерывна и имеет непрерывность наклона касательной, а ее кривизна изменяется ступенчато. Конечно, разрывы кривизны могут быть сделаны произвольно малыми, если взять достаточно большое число дуг окружности при аппроксимации каждого отрезка. [51]
При проектировании составных кривых часто возникает необходимость их локальной модификации. Методы этого раздела, в частности методы, основанные на fi - сплайнах, позволяют легко осуществить такую модификацию. Но другие стандартные методы могут и не позволить составной кривой принять желаемую форму на некотором ее протяжении из-за недостаточной гибкости, оставляемой на долю отдельных сегментов условиями гладкости, непрерывности положения и градиента. Имеются два основных пути преодоления этой трудности. Либо непослушный сегмент следует разделить на два или более сегмента, либо увеличить степень полинома, на основании которого он построен. Оба этих приема увеличивают возможности локальной модификации кривой. Ниже будут даны простые примеры, иллюстрирующие, какого рода процедуры Moryf потребоваться. [52]