Cтраница 1
Неограниченная кривая ( 9) называется кусочно гладкой, если для каждого конечного р а кривая z a ( t), a t р является кусочно гладкой. [1]
Однако если неограниченная кривая является накрывающей полутраекторией потока, на который наложены некоторые ограничения, то эти ограничения могут не позволить кривой осциллировать. Например, если Т есть накрывающая для полутраектории потока / на М, который либо не имеет точек покоя, либо все его точки покоя имеют конечный отрицательный индекс ( тогда все точки покоя с необходимостью изолированные), то 7, покидающая любое компактное подмножество М, обязательно уходит в бесконечность. Следовательно, в диске, который ограничивает С на М, имеется по крайней мере одна точка покоя положительного индекса. [2]
Аналогично определяются неограниченные кривые в случае, когда параметр t пробегает полуось - с i t а или всю числовую ось. [3]
Возможные предельные множества на бесконечности неограниченных кривых, которые являются поднятиями кривых без самопересечений, описаны только для тора. Из теоремы 4.1 вытекает, что предельным множеством на бесконечности может быть весь абсолют. Следующая теорема, доказанная Глуцюком [26], показывает, в частности, что предельным множеством не может быть никакая дуга абсолюта, отличная от 5оо, покрывающая больше половины SOQ. [4]
Определим теперь интеграл от функции / ( z) вдоль неограниченной кривой С. Пусть сначала С не ограничена лишь в одну сторону и а - ее конец. [5]
Ряд математических и прикладных задач приводит к интегралам по неограниченным кривым, когда контур интегрирования имеет бесконечную длину. [6]
Остановимся теперь на случае, когда интеграл типа Коши берется по неограниченной кривой. [7]
Из теоремы 4.3 и результатов работ [3, 51] вытекает следующая теорема, которая описывает все возможные предельные множества на бесконечности неограниченных кривых, являющихся поднятиями кривых без самопересечений тора. [8]
Например, уже говорилось, что мы различаем те случаи, когда некоторый ( а тогда и любой) подъем 7 кривой / является ограниченной или неограниченной кривой. В некотором смысле вопросы о таких свойствах ( даже когда они ставятся только для траекторий потоков) по сравнению с обычными вопросами качественной теории как бы принадлежат к более примитивному, нижележащему уровню, ибо рассматриваемые свойства кривой не изменяются при ее замене на другую кривую, лежащую на конечном расстоянии Фреше от нее. [9]
Явное использование универсальной накрывающей для решения этой задачи впервые было предложено А. Основой его рассуждений был тот факт, что поднятия траекторий попарно не пересекаются. Вейля на мысль, что аналогичным свойством должны обладать кривые без самопересечений, не обязательно определяемые дифференциальными уравнениями. Первая гипотеза ( сформулированная в виде теоремы и упоминаемая далее как теорема) утверждала, что поднятие на универсальную накрывающую кривой без самопересечений на торе имеет асимптотическое направление, если это поднятие является неограниченной кривой. [10]