Cтраница 1
Секционная кривизна показывает меру искривления М 1 в данной точке и в данном двумерном направлении. В свою очередь, по секционной кривизне метрика Мп определяется однозначно в следующем смысле: если у двух многообразий М и Af секционные кривизны постоянны и равны одному и тому же числу а, то MI и Ml локально изометричны, если они к тому же оба односвязны, то - просто изометричны. [1]
Секционную кривизну для этого использовать уже нельзя, вследствие того что она не определена для изотропных ( особых) плоскостей. Однако определяемое ниже понятие будет работать. [2]
Если секционная кривизна отрицательная или нулевая, то функция t - 4 J ( t) выпукла. Это выражает тот факт, что локально функция расстояния между двумя геодезическими является выпуклой. [3]
Ограничения на секционные кривизны являются одними из наиболее употребительных условий, налагаемых в римановой геометрии на изучаемые многообразия. Так, специально исследуют многообразия с Ка 0 или с Ка 0 и т.п. Мы с этим встретимся в следующих главах. [4]
Псевдоримановы многообразия, секционная кривизна которых одинакова по всем ( невырожденным) плоским сечениям, называются многообразиями постоянной кривизны. [5]
Убедимся, что секционная кривизна Ка этой поверхности как риманова многообразия совпадает с ее гауссовой кривизной К как произведением главных кривизн. [6]
Лоренцевы многообразия с неотрицательной времениподобной секционной кривизной или без времениподобно сопряженных в будущем точек можно охарактеризовать через поведение их якобиевых полей. [7]
В теореме о сфере секционные кривизны ограничены с обеих сторон. Оказывается, верхнюю оценку для кривизн можно заменить подходящим ограничением снизу на диаметр или объем многообразия. Так, имеют место следующие теоремы. [8]
Пусть в каждой точке секционная кривизна риманова многообразия размерности п 2 постоянна, т.е. не зависит от двумерного направления. Такие многообразия обычно называются пространствами постоянной кривизны. [9]
Согласно замечанию 4.9, секционная кривизна k многообразия ( Я, h) постоянна. Метрики такого вида обычно и изучаются в общей теории относительности. [10]
Если многообразия V имеют постоянную отрицательную секционную кривизну, то К. [11]
Если, кроме того, секционная кривизна К мажорируется отрицательной константой, например, К - 1, то, вообще говоря, функция J ( t) стремится к бесконечности по меньшей мере как е4, когда t стремится к оо или к - оо. Это показывает, что в общем случае две бесконечно близкие геодезические расходятся экспоненциально. [12]
Вместо того чтобы рассматривать все секционные кривизны, необходимо ограничить внимание лишь времениподоб-ными секционными кривизнами по следующей причине. Однако Харрис ( 1979) показал, что если все времениподобные секционные кривизны ограничены и сверху, и снизу, то ( М, g) имеет постоянную секционную кривизну. [13]
В римановых пространствах равномерное ограничение секционных кривизн Ка пространства в любой его точке и любом двумерном направлении позволяет использовать теоремы сравнения. Последние позволяют сравнивать скорость расхождения геодезических и объемы областей в рассматриваемом пространстве с характеристиками соответствующих линий и областей в пространстве постоянной К. Некоторые из ограничений па А о даже предопределяют топологич. [14]
Пусть в римановом многообразии М все секционные кривизны Ка k const, и пусть любые две точки на сторонах треугольника А в М соединимы единственной кратчайшей. Тогда каждый угол треугольника А не больше, чем соответствующий ему угол треугольника с теми же длинами сторон на k - плоскости. [15]