Cтраница 1
Лемма Кэли дает, по-видимому, обширную информацию о графе G, сообщая нам, сколько имеется подграфов с менее чем п вершинами для каждой возможной структуры. Однако загадочно, что тем не менее не было возможности показать с помощью любого доказательства, справедливого для каждого графа G, что вся эта информация соответствует только одному графу G. Тайна еще более сгущается в случае варианта, известного как предположение о реберной реконструкции. В этом варианте А перечисляет вместо вершин ребра и получает граф Су, удаляя толькоу - е ребро. Соответствующий вариант леммы Кэли охватывает все соответствующие подграфы графа G, точно сообщая нам, сколько их имеется от каждой возможной структуры. Но предположение о реберной реконструкции также до сих пор не проверено. [1]
Лемма Кэли распространена на случай, когда граф Н имеет п вершин. [2]
Оставляя эти особые случаи в стороне, я думаю, что будет справедливо сказать о том, что современная общая теория реконструкции остановилась на лемме Кэли. Но эти полиномы могут быть выражены с помощью соответствующих подграфов графа G, которые могут быть адекватно перечислены с использованием леммы Кэли и наших расширенных вариантов ее. [3]
Нам действительно известно число способов, если взаимопересечение допустимо, поскольку мы знаем число реализаций каждого графа / /, в графе G с помощью леммы Кэли. В может также определить, хотя это довольно утомительно, число способов, при которых Действительно существует взаимопересечение. Нт в графе К, таких, что объединением т реализаций является К. В таком случае реализации некоторых двух подграфов из Н пересекаются. Затем В определяет с помощью леммы Кэли число копий К в графе G, перемножает эти два числа и суммирует полученную величину по графам К. Нт в К, при которых существует пересечение. [4]
Известен ряд - реберных стягиваемых подграфов графа G; это число способов выбора К ребер из множества ребер графа G. И число несвязных подграфов оказывается реконструируемым с помощью расширенной нами леммы Кэли. Существует аналогичная теория, рассматривающая вместо несвязных сепарабельные ( но связные) графы. [5]
Оставляя эти особые случаи в стороне, я думаю, что будет справедливо сказать о том, что современная общая теория реконструкции остановилась на лемме Кэли. Но эти полиномы могут быть выражены с помощью соответствующих подграфов графа G, которые могут быть адекватно перечислены с использованием леммы Кэли и наших расширенных вариантов ее. [6]
Все это представляется увлекательным для человека, впервые знакомящегося с теорией реконструкции. Но когда он приобретет опыт, будет отрицательно к этому относиться, говоря, что это лишь набор упражнений по применению леммы Кэли. [7]
В может получить и более впечатляющий результат. Тогда В может установить, сколько копий графа Н оказываются подграфами графа G. Полученная сумма для числа копий графа Н в графе G является леммой Кэли - единственной важной ( до сих пор) теоремой теории реконструкции. [8]
Лемма Кэли дает, по-видимому, обширную информацию о графе G, сообщая нам, сколько имеется подграфов с менее чем п вершинами для каждой возможной структуры. Однако загадочно, что тем не менее не было возможности показать с помощью любого доказательства, справедливого для каждого графа G, что вся эта информация соответствует только одному графу G. Тайна еще более сгущается в случае варианта, известного как предположение о реберной реконструкции. В этом варианте А перечисляет вместо вершин ребра и получает граф Су, удаляя толькоу - е ребро. Соответствующий вариант леммы Кэли охватывает все соответствующие подграфы графа G, точно сообщая нам, сколько их имеется от каждой возможной структуры. Но предположение о реберной реконструкции также до сих пор не проверено. [9]
Нам действительно известно число способов, если взаимопересечение допустимо, поскольку мы знаем число реализаций каждого графа / /, в графе G с помощью леммы Кэли. В может также определить, хотя это довольно утомительно, число способов, при которых Действительно существует взаимопересечение. Нт в графе К, таких, что объединением т реализаций является К. В таком случае реализации некоторых двух подграфов из Н пересекаются. Затем В определяет с помощью леммы Кэли число копий К в графе G, перемножает эти два числа и суммирует полученную величину по графам К. Нт в К, при которых существует пересечение. [10]