Cтраница 1
Задача численного интегрирования, как было замечено в § 7.3, есть задача выбора узловых точек, по которым можно оценить среднее значение подынтегральной функции. Изложенные до сих пор в этой книге методы состояли в аппроксимации многочленом подынтегральной функции, или множителя подынтегральной функции, и последующем интегрировании многочлена. При этом мы требуем выполнения трех свойств. Во-первых, функция К ( х) не должна изменяться за все время пользования формулой; она может, конечно, быть просто единицей. [1]
Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. [2]
Задачу численного интегрирования рассматриваемого уравнения можно разбить на два этапа: а) вычисление нескольких первых значений искомой функции ( вычисление начальных строк таблицы), б) составления таблицы значений искомой функции для выбранных значений аргумента, число которых, как правило, велико и исчисляется иногда сотнями и даже тысячами. [3]
Знание собственного числа А значительно облегчает задачу численного интегрирования уравнения (3.161), так как для заданного х оно вполне определено. Заметим, что функция / ( 6) находится из граничной задачи с точностью до неопределенного множителя, который, играет роль коэффициента интенсивности напряжений и определяется внешним полем. Как и вообще в задачах класса N, он должен быть задан при постановке задачи. Без потери общности функцию f ( 6) можно считать равной 1 при 6 0; при этом простейший метод решения краевой. [4]
После приведения некорректной системы дифференциальных уравнений к нормальной форме задача численного интегрирования системы формально делается корректной. Это обстоятельство вводило в заблуждение ( да и теперь вводит) большинство пользователей компьютеров. Результат численного интегрирования систем, в которых выполнены равенства ( 263) и ( 264), может на самом деле не иметь ничего общего с реальным поведением исследуемого объекта. [5]
Были перечислены лишь некоторые проблемы, которые возникают в задаче численного интегрирования, но их достаточно, чтобы увидеть, насколько многосторонней является эта задача и как многочисленны должны быть правила вычисления интегралов. Аналогичное положение имеет место и для других разделов теории методов вычислений. [6]
Применение регрессионных моделей эффективно также при определении граничных условий в задачах численного интегрирования. [7]
Систематическая сверхрелаксация применяется при решении разреженных систем, возникающих в задачах численного интегрирования уравнений с частными производными. [8]
Таким образом, при рассмотренных выше методе аппроксимирования приведенного момента и линеаризации уравнения движения машинного агрегата задача численного интегрирования системы дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов с переменным верхним пределом. Заметим, что функции Мс ( ф, ф) и J ( ф) часто задаются в табличной форме. При этом значение кинетической энергии оказывается необходимо вычислять только для определенных ( базовых) точек. [9]
Поэтому для всех тех систем дифференциальных уравнений, в которых выполняются равенства ( 263) и ( 264), задача численного интегрирования при заданных начальных условиях является некорректной. [10]
Попытка применения этих методов к решению большинства задач оптимизации электронных схем приводит к возникновению проблемы, аналогичной проблеме минимальной постоянной времени в задачах численного интегрирования дифференциальных уравнений математических моделей схем. Эта аналогия позволяет установить, что количество шагов поиска в гребневых ситуациях соизмеримо с отношением максимального и минимального собственных значений матрицы Гессе. [11]
Однако при этом допускается ошибка - не оговаривается, что существуют особые системы дифференциальных уравнений, рассмотренные в главе 75, решения которых не обладают непрерывной зависимостью решений от параметров. Задача численного интегрирования таких систем при заданных начальных условиях является задачей некорректной. [12]
Выше получены ряд квадратурных формул и строгие оценки погрешности для них. Однако это не решает всех проблем задачи численного интегрирования. Важнейшей задачей вычислительной математики является создание алгоритмов и пакетов программ, обеспечивающих получение решения задач с заданной точностью при минимальном объеме затрат человеческого труда и работы машины. Практическое применение полученных выше оценок требует аналитических выкладок и поэтому достаточно большого объема работы исследователя; кроме того, эти оценки часто оказываются слишком завышенными. Поэтому при создании таких систем обычно отказываются от использования подобных оценок, зачастую жертвуя строгой гарантией малости погрешности приближенного решения. [13]
Выше получен ряд квадратурных формул и строгие оценки погрешности для них. Однако это не решает всех проблем по отношению к задаче численного интегрирования, стоящих перед нами. Важнейшей задачей вычислительной математики является создание алгоритмов и их систем, обеспечивающих получение решения задач с заданной точностью при минимальном объеме затрат человеческого труда и работы машины. Практическое применение полученных выше оценок требует аналитических выкладок по оценке производных и поэтому достаточно большого объема работы исследователя; кроме того, эти оценки часто оказываются слишком завышенными. Поэтому при создании таких систем обычно отказываются от использования подобных оценок, зачастую жертвуя строгой гарантией малости погрешности приближенного решения. [14]
В прошлом вариационные методы широко использовались также для решения радиальных уравнений. Теперь это направление стало менее актуальным, так как с появлением электронных счетных машин задача численного интегрирования обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференци-альных уравнений стала сравнительно несложной. [15]