Теорема пеано

Cтраница 1

Теорема Пеано неверна для любого бесконечномерного пространства Фреше / / Мат. [1]

Коши и теоремы Пеано, соответствующих основным условиям, которым обычно подчинены дифференциальные уравнения. Две из них ( теорема Пикара и теорема Коши) устанавливают не только существование, но и единственность решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Эти теоремы существования и единственности имеют принципиальное значение для всего естествознания, ибо они устанавливают условия, гарантирующие возможность нахождения вполне определенного закона того или иного явления по дифференциальным свойствам его и по начальным данным. Это особенно важно потому, что для многих явлений природы соответствующие им законы выражаются только при помощи дифференциальных уравнений. [2]

Таким образом, теорема Пеано есть только теорема существования решения задачи Коши. Единственности решения она не гарантирует. [3]

Распространим на случай обобщенных функций хорошо известную теорему Пеано. [4]

Как нетрудно видеть ( см. также доказательство теоремы Пеано в книге [ 133, гл. [5]

Не выполнены, вообще говоря, условия теоремы Пеано. [6]

О, Т ] следует из анализа доказательства теоремы Пеано о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения ( см., например, К о д д и и г т о н и Л е в и н с о н [1 ]), а сходимость вытекает из теоремы Арцела о компактности множеств в С0т, если учесть, что решение уравнения (1.2) единственно. [7]

Тем не менее, в общей теории дифференциальных уравнений теорема Пеано играет важную роль. [8]

График решений дифференциального уравнения х-х Чз.| График решений дифференциального уравнения x sgnx. [9]

Пример 2.2.2 показывает, что условия теоремы 2.2.1 ( теоремы Пеано) еще не достаточны для единственности решений. Поэтому возникает потребность и в некоторых критериях единственности решений. Однако если условия теоремы 2.2.1 в некотором смысле естественны для существования решений, хотя и, как показывает пример 2.2.3, отнюдь не необходимы, найти естественные условия единственности решений не представляется возможным. [10]

Таким образом, все условия следствия 3.6.2 выполнены, и теорема Пеано доказана. [11]

Для довшьнсл точки ( / (), х0) е D теорема Пеано дае змогу встановити юнування розв язку шдач. [12]

В настоящем параграфе мы покажем, что существование решения можно гарантировать при более слабом требовании относительно правых частей уравнения, а именно мы докажем теорему Пеано, согласно которой, как уже говорилось ранее, для существования решения задачи Коши достаточно потребовать только непрерывности правых частей уравнений в окрестности начальных данных. [13]

Доказанная теорема Пеано легко распространяется на нормальную систему п уравнений, а следовательно и на уравнение л-го порядка, разрешенное относительно старшей производной. [14]

Другие случаи появления лакун невозможны. Действительно, если все элементы начальной задачи ( 53) непрерывны, применим метод шагов и на каждом шаге соответствующее уравнение без отклонений аргумента разрешимо относительно х ( t), то в силу теоремы Пеано о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения без отклонений аргумента появление лакуны невозможно. [15]

Страницы: 1 2