Cтраница 1
Задача нахождения собственных значений приводит к ортогональной системе функций только в случае, когда рассматривается самосопряженный дифференциальный оператор с самосопряженными краевыми условиями. В предыдущем параграфе мы нашли множитель, преобразующий дифференциальное уравнение Гаусса в самосопряженное. [1]
Задача нахождения собственных значений будет в этом параграфе сведена к задаче нахождения условного экстремума ( минимума) некоторого функционала. [2]
Задача нахождения собственных значений и собственных векторов гамильтониана / / (7.10.196) решается, таким образом, полностью на основе изложенных выше результатов. Непосредственное применение этих результатов к конкретным сферическим волчковым молекулам для значений п, которые не малы, необходимо проводить осторожно, так как нельзя всегда быть уверенным, что возмущение правильно учтено. Даже когда собственные значения энергии (7.10.202) являются в первом порядке хорошими приближениями, эти значения недостаточно точные, чтобы давать согласие с современными экспериментальными спектрами высокого разрешения, и должны быть приняты во внимание поправки более высоких порядков. [3]
Задача нахождения собственных значений матрицы D сводится, таким образом, к нахождению такого унитарного преобразования, которое бы привело матрицу D к диагональному виду. Диагональные элементы такой матрицы, как мы знаем ( см. § 44), и являются ее собственными значениями. [4]
Сама задача нахождения собственных значений в данной триаде является примером задачи третьего класса, примером задачи, меняющей свою корректность в ходе преобразований, используемых при ее решении. [5]
III задача нахождения собственных значений и собственных векторов дает как раз такой пример. [6]
В MATLAB для решения задачи нахождения собственных значений матрицы применяется функция eig. Существует несколько способов обращения к этой функции: Lam eig ( A) - столбец Lam заполняется собственными числами матрицы A; [ VD ] eig ( A) - диагональная матрица D содержит собственные числа; столбцы матрицы V содержат нормированные собственные векторы для каждого собственного числа. При этом векторы нормированы таким образом, что норма каждого из них равна единице. [7]
Применение чебышевских полиномов к задаче нахождения собственных значений матриц с вещественными собственными значениями приводит к методу решения обширных линейных систем путем последовательных итераций, минуя фактическое обращение матриц. На первых порах мы встречаемся при этом с тем затруднением, что чебы-шевские полиномы применимы непосредственно только в вещественной области, тогда как собственные значения произвольной несимметрической матрицы А являются, вообще говоря, комплексными числами. [8]
Применение чебышевских полиномов к задаче нахождения собственных значений матриц с вещественными собственными значениями приводит к методу решения обширных линейных систем путем последовательных итераций, минуя фактическое обращение матриц. На первых порах мы встречаемся при этом с тем затруднением, что чебы-шевские полиномы применимы непосредственно только в вещественной. А являются, вообще говоря, комплексными числами. [9]
Распространим теперь наши рассуждения на задачу нахождения собственных значений, соответствующую наиболее общему линейному дифференциальному оператору второго порядка. [10]
В § 41 мы объясняли, что задача нахождения собственных значений оператора может рассматриваться как задача о приведении к диагональному виду его матрицы. [11]
Читатель должен заметить, что уравнение (1.19) имеет необычную для задачи нахождения собственных значений форму, являются постоянными величинами ( множителями Лагранжа), которые можно выбрать произвольным образом в соответствии с условиями ортонормированности орбиталей. При одном из таких выборов матрица становится диагональной. [12]
Точное решение данной задачи связано с математическими трудностями ( пока непреодолимыми), так как приходится решать задачу нахождения минимального собственного значения дифференциального уравнения в частных производных восьмого порядка с переменными коэффициентами. Поэтому неизбежно применение различных приближенных методов, с помош ью которых исходная задача сводится к определению минимального собственного значения бесконечной матрицы. Но и здесь возникают трудности, связанные с необходимостью раскрывать определители высоких порядков, лежап1 ие за пределами возможности стандартных программ современных ЭВМ. [13]
Сопутствующей задачей часто бывает задача приближенного численного нахождения собственных или, более общо, корневых функций данного интегрального оператора, соответствующих искомым собственным значениям. Наибольшее значение имеет задача нахождения собственных значений ( и функции) линейного интегрального оператора Фредгольма. [14]
Числовые константы cnk и pt этих соотношений не могут быть заранее заданы; они определяются самой матрицей в соединении с правой частью Й0 и выявляются постепенно по мере того, как развертывается алгоритм. Этот, так называемый р, / - алгоритм дает полное решение задачи нахождения собственных значений. Особенно важны начальные этапы процесса. Эта фаза алгоритма заслуживает внимания и сама по себе, так как имеет полезные приложения. [15]