Задача - безусловная оптимизация
Cтраница 3
 |
Вид функции достижимости, для которой комбинированное расширение неэквивалентно. [31] |
Переход к усредненной постановке предполагает, что решение задачи повторяют многократно и в качестве значения задачи принимают среднее значений функции fo ( x), полученных при каждом единичном решении. Естественно, что такой переход в задаче безусловной оптимизации неэффективен, так как среднее значение / о не может быть больше ее максимального значения. В задачах условной оптимизации переход к усредненной постановке может быть эффективен, если для каждого единичного решения не требовать, чтобы х принадлежало D, а вместо этого потребовать, чтобы ограничения задачи выдерживались в среднем на множестве решений. [32]
Большинство методов оптимизации разработано для поиска безусловного экстремума. Обычно задачи условной оптимизации сводят к задачам безусловной оптимизации с помощью штрафных функций или множителей Лагранжа. [33]
Второе свойство выпуклых задач можно высказать в виде следующего общего принципа: необходимые условия оптимальности в том или ином классе задач оптимизации при соответствующих предположениях выпуклости оказываются и достаточными. Ограничимся здесь обоснованием этого принципа применительно к задаче безусловной оптимизации ( ср. Другими его подтверждениями служат теоремы 1.2 и 2.2 гл. [34]
При решении задач условной оптимизации целесообразно использовать методы безусловной оптимизации, учитывая большое количество разработанных по этим методам программ. С этой целью задача условной оптимизации сводится к задаче безусловной оптимизации устранением ограничений путем преобразования параметра xt, на значения которого наложены ограничения, в неограничиваемый. [35]
Функциональные ограничения устраняются путем конструирования обобщенной функции оптимизации с учетом типа ограничений. Так, если все ограничения представлены в аналитическом виде и являются функциональными зависимостями типа равенств (3.11), то переход к задаче безусловной оптимизации часто осуществляется с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. [36]
В этом случае реализация алгоритма завершается. Как несложно показать, в силу того что функция f ( x X2) является вогнутой, найденная точка является решением задачи безусловной оптимизации. [37]
При втором подходе ( блок DII) задачу оптимизации с ограничениями посредством того или иного приема ( метод штрафов, метод неопределенных множителей Лагранжа) сводят к задачам безусловной оптимизации. [38]
Использование алгоритмов стохастической аппроксимации в задачах на условный экстремум функции регрессии или задачах, где ограничения носят регрессионный характер, может основываться на сведении этих задач к задаче безусловной оптимизации с помощью штрафных функций или на стохастических аналогах градиентных алгоритмов детерминированных задач. [39]
Правда, расчет предотвращенного ущерба по Временной типовой методике / 1 /, как правило, дает результаты, намного превышающие затраты, что заведомо их оправдывает практически в каждом случае. В большой мере это происходит из-за учета внеэкономической составляющей в расчетных формулах ( например из-за учета скорости оседания частиц и радиуса их рассеивания), что завышает размер предотвращенного ущерба подобно тому, как это происходит при переводе задачи оптимизации с ограничениями в задачу безусловной оптимизации. Однако при этом предотвращенный ущерб теряет свое экономическое содержание, а следовательно, сопоставление его с затратами не будет иметь смысла. Например, затраты, направленные на снижение загрязнения какого-либо уникального природного ландшафта ( заповедника) вряд ли смогут быть оправданы реальным предотвращенным ущербом, поскольку природные компоненты этого ландшафта не имеют адекватной стоимостной оценки. [40]
В первом подходе учитывается, что большинство развитых методов оптимизации ориентировано на поиск безусловного экстремума. Поэтому их применение к решению задачи условной оптимизации требует, чтобы эта задача была предварительно сведена к задаче безусловной оптимизации. Во втором подходе используются методы, специально разработанные для решения задач нелинейного программирования с ограничениями. [41]
 |
Метод штрафных функиии. [42] |
При малых значениях параметра 0 вне области D функция F ( x / 3) сильно возрастает. Поэтому ее минимум может быть либо внутри D, либо снаружи вблизи границ этой области. В первом случае минимумы функций F ( xj / 3) и / ( х) совпадают, поскольку дополнительные члены в (6.20) равны нулю. Если минимум функции F ( x, / 3) находится вне D, то минимум целевой функции / ( х) лежит на границе D. Таким образом, задача оптимизации для целевой функции / ( х) с ограничениями (6.19) свелась к последовательности задач безусловной оптимизации для вспомогательной функции (6.20), решение которых может быть проведено с помощью методов спуска. [43]
В данной главе будут рассмотрены алгоритмы отыскания экстремума нелинейной функции при нелинейных ограничениях. С простейшим из них, предназначенным для решения задач, ограничения которых имеют вид равенств, мы уже познакомились ранее. Надо сказать, что в своем большинстве алгоритмы такого сорта представляют собой различные способы воплощения двух подходов к организации поиска условного экстремума. Первый состоит в том, чтобы, непосредственно контролируя соблюдение ограничений задачи, двигаться к ее оптимуму по последовательности допустимых или почти допустимых точек с монотонно убывающими либо монотонно возрастающими ( это зависит от того, что ищется - минимум или максимум) значениями целевой функции Соответствующие алгоритмы называются методами спуска. Два из них представлены в первом параграфе этой главы. Второй подход заключается в сведении задачи на экстремум при наличии ограничений к последовательности задач безусловной оптимизации конструируемых специальным образом вспомогательных функций. Эти функции принято называть штрафными, а использующие их алгоритмы - методами штрафных функций. Им посвящен второй параграф. [44]
Страницы: 1 2 3