Cтраница 1
Эллиптические граничные задачи обладают свойством монотонности, которое, грубо говоря, состоит в том, что чем больше правые части уравнений и граничных условий, тем больше решение. Это свойство играет важную роль при исследовании свойств решений и для получения их оценок. Ввиду линейности граничных задач указанное свойство монотонности эквивалентно положительности решений при положительности правых частей. [1]
При решении эллиптической граничной задачи соответствующие функциональные значения U ( x, у) обычно расположены последовательно по линиям в промежуточном накопителе. [2]
В теории эллиптических граничных задач доказывается, что тогда всякое обобщенное решение такой задачи является классическим ее решением ( см., например, [12], гл. Таким образом, рассматриваемое условие выполнено, если задача (39.11) не имеет нетривиальных классических решений. Используя результаты из [29], можно показать, что при заданном е значения k, для которых это условие нарушается, образуют не более чем счетное множество без конечных предельных точек. [3]
Важным свойством решений эллиптических граничных задач является свойство положительности решения при положительных правых частях. Из него следуют, в частности, оценки решений в равномерных нормах. В § б доказана положительность обобщенных решений, принадлежащих пространству BV2, без каких бы то ни было дополнительных условий гладкости решений, а также строгая положительность первой собственной функции. Эти результаты дают возможность в дальнейшем ( глава IX) проводить исследование граничных задач для квазилинейных эллиптических уравнений, систематически используя аппарат верхних и нижних функций непосредственно для обобщенных решений, не заботясь об их гладкости. [4]
Предположим, что (5.4), (5.5) - регулярная эллиптическая граничная задача ( в смысле § 3 гл. [5]
В § 4 обсуждается построение комплексной геометрической оптики, которая даст нам параметрикс для эллиптической граничной задачи. [6]
Отметим, что в работах [100, 25, 102, 36] с помощью результатов исследования однородных матриц Грина параболических граничных задач построены однородные матрицы Грина эллиптических граничных задач, порожденных параболическими, и получены точные оценки всех их производных по основным аргументам. [7]
В работах [37, 50] построена и изучена матрица Грина ( в том числе установлены точные оценки ее производных, получено разложение ее элементов в сумму слагаемых с последовательно улучшаемыми свойствами) для общих эллиптических граничных задач, порожденных параболическими. [8]
VI, задача Дирихле (4.3) является регулярной эллиптической граничной задачей. [9]
Среди задач, касающихся общих научных проблем, наибольшие требования к объему памяти и скорости выполнения операций предъявляются задачами на решение уравнений в частных производных. Если имеется зависимость от времени, то предположим, что для решения задачи необходимо на каждом временном слое решать эллиптическую граничную задачу. Этим характеризуются, например, метеорологические уравнения из разд. Допустим, что каждое пространственное переменное задается N точками кубической решетки. Следовательно, при решении для каждого данного момента времени требуется хранить Ns чисел. Предположим для простоты, что коэффициенты уравнения не должны храниться в памяти. [10]
Для такой задачи строится однородная функция Грина GO и устанавливаются точные оценки вплоть до границы области самой функции Go и всех ее производных до порядка 2Ь - 1 включительно. Арима использует метод, опирающийся на введение операторов дробного дифференцирования на граничном многообразии. Арима 1116 ], используя метод параболического уравнения, наш, л асимптотику числа собственных значений самосопряженной эллиптической граничной задачи с нормальными граничными условиями. [11]
Для такой задачи строится однородная функция Грина GO и устанавливаются точные оценки вплоть до границы области самой функции Go и всех ее производных до порядка 2Ь - 1 включительно. Арима использует метод, опирающийся на введение операторов дробного дифференцирования на граничном многообразии. Арима 1116 ], используя метод параболического уравнения, наш, л асимптотику числа собственных значений самосопряженной эллиптической граничной задачи с нормальными граничными условиями. Мизохата 1117 ], используя результаты для функции Грина, изучил распределение собственных значений некоторых несамосопряженных эллиптических граничных задач. [12]